Une formule du rang ?

Bonjour,
je cherche à faire la preuve suivante.

$f$ est un morphisme de groupes au départ d'un groupe fini $G$.
Je dois montrer que $\mathrm{card}(G)=\mathrm{card}(\mathrm{Im}(f))\times \mathrm{card}(\ker(f))$.
Je note $f:G\to G'$ ce morphisme avec une notation multiplicative pour les deux groupes $G$ et $G'$.
J'énumère $y_1,\ldots,y_p$ les différentes valeurs prises par $f$ avec $\mathrm{card}(\mathrm{Im}(f))=p$.
Pour $j\in1,p$, je note $x_j\in G$ un antécédent de $y_j$ par $f$, de sorte que $f(x_j)=y_j$.
Alors pour tout $x$ dans $G$, je trouve $f(x)=y_j\Leftrightarrow x\in x_j\ker(f)$.
D'où $f^{-1}(\{y_j\}):=\{x\in G\mid f(x)\in\{y_j\}\}=\{x\in G\mid f(x)=y_j\}=\{x_jh\mid h\in \ker(f)\}$.

Et là je bloque.
L'application $h\mapsto x_j h$ est une injection donc $\mathrm{card}(f^{-1}(\{y_j\}))=\mathrm{card}(\ker(f))$.
Enfin, écrire $G=\sqcup_{j=1}^p f^{-1}(\{y_j\})$ permet de conclure.
Mes deux interrogations.
1 - Je ne vois pas pourquoi l'application $h\mapsto x_j h$ est une injection, il n'est pas précisé les ensembles de départ et d'arrivée. Ni comment [on] obtient l'égalité des cardinaux qui suit.
2 - En admettant que l'on ait l'union disjointe, j'arrive à conclure. Mais d'où vient cette union ?
Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci.

Réponses

  • 1- $h\mapsto x_jh$ va de $\ker(f)$ vers $f^{-1}(y_j)$, et c'est une bijection, ça vient de la ligne du dessus (avec le "D'où")

    2- Un élément de $G$ est envoyé via $f$ sur un des $y_j$ par définition; et sur un seul (puisque $y_j \neq y_i$ si $i\neq j$, à nouveau par définition)
  • Bonjour,

    pour le 1, étant donné que tu es dans un groupe, tu peux "diviser" par $x_j$, donc si $x_jh=x_jk$ tu as nécessairement $h=k$.
    pour le 2, si un élément est dans $G$ son image est l'un des $y_i$ par définition de ceux-ci et cet élément est donc dans l'image réciproque de ce $y_i$. L'union est disjointe car un élément de $G$ n'a qu'une seule image par $f$.

    Un petite remarque, est il normal que tu ne t'autorises quasiment aucun résultat de théorie des groupes ?

    A+

    F.
  • bonjour, il suffit pour mieux voir ceci d'utiliser une relation d'équivalence: $ xRy$ dans $G$ si et seulement si $f(x) = f(y)$. la relation d'équivalence définit immédiatement une partition de $G$ et il reste à calculer le cardinal d'une classe et le nombre de classes...La structure de groupe risque d'aider....
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Je n'arrive pas à le voir.
    En quoi $f^{-1}(\{y_j\})=\{x_jh\mid h\in \ker(f)\}$, permet de construire une application injective : $$

    \begin{array}{cccl}
    \phi : &\ker(f) &\longrightarrow& f^{-1}(\{y_j\}) \\
    &h &\longmapsto &x_jh
    \end{array}

    $$ Je dois commencer à fatiguer aussi, je vais prendre un peu de recul !
    Merci pour l'aide réactive en tout cas. (tu)
  • Bah le côté surjectif c'est l'égalité que tu donnes au-dessus. Le côté injectif c'est en utilisant l'existence d'inverses (si $x_jh = x_jh'$ alors en multipliant à gauche par $x_j^{-1}$ on obtient $h=h'$).
  • En fait, l'application $\phi$ est une surjection car $f^{-1}(\{y_j\})=\{x_jh\mid h\in \ker(f)\}$.
    Et c'est une injection car $x_jh = x_jh' \Rightarrow h=h'$.
    Donc c'est une bijection et donc $\mathrm{card}(f^{-1}(\{y_j\}))=\mathrm{card}(\ker(f))$.
    Est-ce cela ?
    Je comprends mieux pour la suite.

    Sinon, je connaissais pas la relation d'équivalence qu'évoque gilles benson.
    Je viens de vérifier, c'en est une.
    Alors j'écris
    \begin{align*}
    \bar{x}&=\{y\in G\mid x\mathcal{R}_Gy\}=\{y\in G\mid f(x)=f(y)\}\\
    &=\{y\in G\mid f(y-x)=0\}=\{y\in G\mid y\in \ker(f)+x\}\\
    &=\ker(f)+x.

    \end{align*} Mais je ne suis pas certain de mon coup.
    Pouvez-vous m'aider ?
    Merci d'avance.
  • Ce que tu écris est juste mais attention tu as noté ta loi de groupe multiplicativement, et sur la fin additivement.
  • Ah oui, c'est plutôt :

    $
    \begin{align*}
    \bar{x}&=\{y\in G\mid x\mathcal{R}_Gy\}\\
    &=\{y\in G\mid f(x)=f(y)\}\\
    &=\{y\in G\mid f(y)f(x)^{-1}=1\}\\
    &=\{y\in G\mid f(yx^{-1})=1\}\\
    &=\{y\in G\mid yx^{-1}\in \ker(f)\}\\
    &=x\ker(f).
    \end{align*}
    $
    On sait que les classes d'équivalences sont toujours disjointes ou confondues. Elles forment une partition de $G$ et donc :
    $\begin{align*}
    G&=\bigsqcup_{x\in G}\bar{x}\\
    &=\bigsqcup_{x\in G}x\ker(f)
    \end{align*}$
    Comment puis-je conclure ? J'ai pensé écrire ceci, mais il me manque l'argument final :
    $\begin{align*}
    \mathrm{card}(G)&=\sum_{x\in G}\mathrm{card}(xker(f))\\
    &=\sum_{x\in G}\mathrm{card}(x)\mathrm{card}(\ker(f))\\
    &=\mathrm{card}(\ker(f))\sum_{x\in G}\mathrm{card}(x)
    \end{align*}$
    Pouvez-vous m'aider ?
    Encore merci.
  • La notation $\mathrm{card}(x)$ n'a pas de sens. Cherche plutôt à montrer que $\mathrm{card}(x \ker f) = \mathrm{card}(\ker f)$ pour tout $x \in G$.

    De plus, la réunion $G = \bigsqcup_{x\in G}x \ker(f)$ n'est pas disjointe (tous les $x$ dans $\ker f$ donnent le même ensemble) donc tu ne peux pas en déduire que le cardinal de $G$ est la somme des cardinaux de tous les $\mathrm{card}(x \ker f)$ avec $x \in G$. Ce qui est vrai c'est que si tu considères une famille $\{x_1, \dots, x_r\}$ de représentants de chaque classe d'équivalence, la réunion $G = \bigcup_{i=1}^r x_i \ker f$ est bien disjointe, et tu peux conclure avec l'argument que j'ai donné en début de message.
  • Je pense me perdre un peu dans les notations.

    Je peux écrire :
    $\large G=\cup_{\bar{x}\in G}\bar{x}$
    sans que l'union soit disjointe (car certaines des classes d'équivalence sont confondues).
    Sinon, il faut écrire :
    $\large G=\sqcup_{i=1}^r \bar{x_i},$
    où $\{\bar{x_1},\cdots,\bar{x_r}\}$ est une famille de classe d'équivalence toutes disjointes.
    Ce qu'on peut encore écrire :
    $\large G=\sqcup_{i=1}^r x_i ker(f)$
    où $\{x_1,\cdots,x_r\}$ est une famille de représentants de chaque classe d'équivalence.
    Est-ce bien cela ?
  • Oui pour les deux premières. Pour la dernière ça n'a pas de sens puisque tu parles de la réunion d'éléments de ton groupe ! Peut-être voulais-tu écrire $$G = \sqcup_{i=1}^r x_i \ker f,$$ ce qui est correct (puisque $\overline{x} = x \ker f$ par définition).
  • Bonjour,
    je pense que

    - pour chaque $y \in G'$ on a $f^{-1}(y)=\{x \in G \mid f(x)=y\}$,
    - $f^{-1}(y)$ avec $y \in G'$ est une partition de $G$,
    - pour $y \in \mathrm{Im}(f)$, $ f^{-1}$ est une bijection avec $\ker f$.
  • Bonjour
    Autre chose.

    Si $f$ est un morphisme de groupe de $G\to G'$, alors $f$ induit un isomorphisme entre le groupe quotient $G/ \ker f$ et $\ \mathrm{Im}(f)$, cet isomorphisme vérifie $\mathrm{card}(G/ \ker f )=\mathrm{card}( \mathrm{Im}(f) )$ et d'après le théorème de Lagrange $\mathrm{card}(G/ \ker f)=\mathrm{card}(G)/\mathrm{card} (\ker f)$.
  • Oui, en effet, j'ai modifié.

    En poursuivant donc mon fil, je peux maintenant écrire :
    $\mathrm{card}(G)=\sum_{i=1}^r \mathrm{card}(x_i\ker(f))$
    Et maintenant je comprends mieux votre remarque : reste à calculer $\mathrm{card}(x_i\ker(f))$.

    Dois-je utiliser l'équivalence montrée dans mon message initial ?
    À savoir que : $f(x)=y_j\Leftrightarrow x\in x_j\ker(f)$ ?
  • Oui, mais j'ai l'impression que tu fais deux fois chaque étape là ! On a déjà dit que $\ \mathrm{card}(x \ker f) = \mathrm{card}(\ker f)$ pour tout $x \in G$ car l'application $y \mapsto xy$ est une bijection entre $\ker f$ et $x \ker f$.
  • Ok.
    Je comprends mieux.
    En fait, j'avais mal compris l'intervention de gilles. Je pensais que cela aller être plus "direct". Que voulait-il dire par "la structure de groupe risque d'aider..."

    Enfin, rien à voir, mais dans ce fil, on a vu que :
    - On choisit $(G,+)=\mathbb{Z}$
    - Si $\phi:k\in\mathbb{Z}\mapsto a^k$ alors $\ker(\phi)=n\mathbb{Z}=H$
    - On définit $a\mathcal{R}_{\mathbb{Z}}b \Leftrightarrow b-a\in \ker(\phi)=n\mathbb{Z}$

    Ici, j'y vois des similitudes :
    - On choisit $(G,.)$ un groupe fini
    - Si $f:x\in G\mapsto f(x)$ alors $\ker(f)=H$
    - On définit $x\mathcal{R}_{G}y \Leftrightarrow xy^{-1}\in \ker(f)$

    J'ai comme l'impression que la relation d'équivalence est écrite avec le même esprit, me trompe-je ?
  • Salut,

    Ta relation d'équivalence à la fin de ton dernier message est bien celle dont il est question dans le fil. Normalement, dans le contexte où tu as trouvé l'exercice, ça devait pas mal parler de "classe suivant un sous-groupe" (et éventuellement de théorème de Lagrange, il y a peut-être aussi un nom pour qualifier un sous-groupe qui est noyau d'un morphisme).
    Si tu as envi d'être dans les clous tu dois pouvoir identifier tout ça dans ton problème (ce n'est pas obligatoire, je suppose que tout amateur de mathématique aime partir à l'aventure avec peu de connaissances au départ, en tout cas, moi j'aime bien, ça rend le cheminement beaucoup plus amusant).
  • Merci.
    C'est ce que j'essaye d'identifier. A dire vrai, le livre dans lequel j'ai trouvé cet exercice est d'un niveau MP et donc ne traite pas vraiment de classe d'équivalence.

    Ma question est de savoir si, de façon générale, il peut être un bon réflexe de se dire qu'on a le contexte suivant :

    $G$ un groupe (noté de façon additivte ou multiplicative)
    $H=\ker(f)$ un sous-groupe qui est le noyau d'un morphisme de groupe.
    $a\mathcal{R}_G b \Leftrightarrow b-a\in \ker(f)$ ou bien $a\mathcal{R}_G b \Leftrightarrow ab^{-1}\in \ker(f)$ selon la loi prise au départ.

    ?
  • Oui. Au passage, cette relation est aussi équivalente à $f(a)=f(b)$.
  • Ok, merci de votre patience !
    Je pense avoir beaucoup mieux compris maintenant.
    Je reprendrais cet exercice à distance, d'ici quelques jours pour voir ce qu'il en reste.(tu)
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