Cardinal de Z[X]/(X²+X+1;6)

emmanuel

Bonjour à tous,
Je n'arrive pas montrer que Cardinal de Z[X]/<X²+X+1;6> vaut 36. Quelqu'un peut-il m'aider?
Merci d'avance,
Emmanuel

shadow1

je serais tenté de dire que $\frac{ \Z [ X )}{(X²+X+1)}$ est en bijection avec ${aX+b, a,b \in \Z}$ (division euclidienne) puis raisonner modulo 6 pour conclure.

Alain Debreil

Je serais tenté de dire que $\dfrac{ \Z [ X ]}{(X²+X+1)}$ est en bijection avec $\{aX+b\mid a,b \in \Z\}$ (division euclidienne) puis raisonner modulo 6 pour conclure.

emmanuel

En fait tu dis que Z[X]/<X²+X+1;6> isomorphe à Z/6Z[j] d'où le résultat. Je n'ai pas de pb avec Z[X]/<X²+X+1> isomorphe à Z[j] mais je ne suis pas très clair sur le 6... Pourrais-tu me détailler les étapes. Merci. Emmanuel.

shadow1

c'est le même principe que précédemment. Si tu notes $K= \frac{ \Z[ X ]}{(X²+X+1)}$, alors tu montres que $\frac{ K }{(6)}$ est en bijection avec {$aX+b, a,b \in |[0,6]| $}
et comme
$\frac{ \Z[ X ]}{(X²+X+1,6)} \sim \frac{ \Z[ X ]}{(X²+X+1)}$/$ (6) $
le résultat est acquis...

shadow1

oups "a,b dans |[0,5]| " ... Alain, ch'tite correction, stp ? merciiii

Alain Debreil

$ \{aX+b\mid a,b \in \vert[0,5]\vert\} $

richard7

comment faites vous pour diviser dans Z[X] semble t'il avec un polynome de Q[X]?

emmanuel

Merci shadow,
Mais alors si je cherche maintenant le cardinal de Z[X,Y]/(X+1;Y;10), je ne vois pas comment prolonger ton raisonnement (ce qui prouve que je ne l'ai pas bien compris). Si tu pouvais m'éclairer un peu plus (éclairer = exercice de style pour un shadow!). Merci d'avance, Emmanuel.

shadow1

salut emmanuel,

(joli jeu de mot avec mon pseudo )

pour ton deuxième exo, c'est (il me semble) toujours le même principe.

Tu commences par $\frac{ \Z [ X, Y ]}{(Y)}$ qui est assez simple, puisqu'il "enlève tous les Y", donc isomorphe à $\Z [ X ]$.
Par l'isomorphisme
$\frac{ Z [ X,Y ]}{(X+1,Y,10)} \sim \frac{ \Z [ X ]}{(Y)}$/$(X+1,10)}$ $\sim \frac{ \Z[ X ]}{(X+1,10)}$
on est ramené à l'étude précédente (en plus simple).

en fait, l'argument clé de ce genre d'exos, c'est l'isomorphisme
$\frac{ \Z [ X ]}{(a,b)} \sim \frac{ \Z [ X ]}{(a)}$/$(b)$
où tu remplaces $(a,b)$ par ce que tu veux (en simplifiant au préalable, pour éviter les blagues du genre $(X,X+1)$)

pour des précisions, là dessus, il y a eu il n'y a pas très longtemps un post sur l'isomorphisme en question, que je n'arrive pas à retrouver... peut-être auras-tu plus de chance que moi ...

shadow

shadow1

zut, j'ai encore oublié de cocher l'option latex...

Alainnn ????

(dsl de te solliciter autant ...)

shadow1

salut emmanuel,

(joli jeu de mot avec mon pseudo )

pour ton deuxième exo, c'est (il me semble) toujours le même principe.

Tu commences par $\frac{ \Z [ X, Y ]}{(Y)}$ qui est assez simple, puisqu'il "enlève tous les Y", donc isomorphe à $\Z [ X ]$.
Par l'isomorphisme
$\frac{ Z [ X,Y ]}{(X+1,Y,10)} \sim \frac{ \Z [ X ]}{(Y)}$/$(X+1,10)}$ $\sim \frac{ \Z[ X ]}{(X+1,10)}$
on est ramené à l'étude précédente (en plus simple).

en fait, l'argument clé de ce genre d'exos, c'est l'isomorphisme
$\frac{ \Z [ X ]}{(a,b)} \sim \frac{ \Z [ X ]}{(a)}$/$(b)$
où tu remplaces $(a,b)$ par ce que tu veux, en simplifiant au préalable, pour éviter les blagues du genre $(X,X+1)$
sinon, la formule exacte est si je ne me trompe pas
$\frac{A}{(I,J)} \sim \frac{A}{I}$/$\frac{I}{I inter J}$

pour des précisions, là dessus, il y a eu il n'y a pas très longtemps un post sur l'isomorphisme en question, que je n'arrive pas à retrouver... peut-être auras-tu plus de chance que moi ...

shadow

Ps: voilà, j'ai tout repris, n'hésitez pas à supprimer mes 2 précédents posts

Alain Debreil

Salut Emmanuel,

(joli jeu de mot avec mon pseudo )

Pour ton deuxième exo, c'est (il me semble) toujours le même principe.

Tu commences par $\dfrac{ \Z [ X, Y ]}{(Y)}$ qui est assez simple, puisqu'il "enlève tous les $Y$", donc isomorphe à $\Z [ X ]$.
Par l'isomorphisme
$\dfrac{ Z [ X,Y ]}{(X+1,Y,10)} \simeq \dfrac{ \frac{\Z [ X ]}{(Y)}}{(X+1,10)} \simeq \dfrac{ \Z[ X ]}{(X+1,10)}$
on est ramené à l'étude précédente (en plus simple).

En fait, l'argument clé de ce genre d'exos, c'est l'isomorphisme
$\dfrac{ \Z [ X ]}{(a,b)} \simeq \dfrac{\frac{ \Z [ X ]}{(a)}}{(b)}$
où tu remplaces $(a,b)$ par ce que tu veux, en simplifiant au préalable, pour éviter les blagues du genre $(X,X+1)$
Sinon, la formule exacte est si je ne me trompe pas
$\dfrac{A}{(I,J)} \simeq \dfrac{A}{I}}\left/{\dfrac{I}{I \cap J}\right.$

Pour des précisions, là dessus, il y a eu il n'y a pas très longtemps un post sur l'isomorphisme en question, que je n'arrive pas à retrouver... peut-être auras-tu plus de chance que moi ...

shadow

[Shadow : pour avoir des "grandes" fractions tu utilises dfrac au lieu de frac. AD]

shadow1

il fallait lire $\dfrac{J}{I inter J}$...