Question sur la conjecture de Goldbach

Bonjour à tous,
Dans une discussion qui a été transférée dans la catégorie Shtam, une personne essayait de prouver la conjecture de Goldbach en écrivant la succession de nombre dans ce style :
15 + 17
13 + 19
11 + 21
9 + 23
7 + 25
5 + 27
3 + 29
1 + 31

Une personne avait répondu que essayer de résoudre cette conjecture en regardant cette succession de nombres était voué à l'échec car beaucoup de personnes avaient tenté une démonstration sur cette base sans y parvenir.

En dehors de la conjecture elle-même, y a-t-il un point précis (une étape connue et classique ?) que personne n'arrive à démontrer/dépasser ?

Cordialement,
CYD.

Réponses

  • Ta question n'est pas très claire, qu'attends-tu d'autres que "on ne sait pas montrer en raisonnant comme ça que la conjecture est vérifiée pour tout entier pair" ?
  • Aujourd'hui il y a plein d'équipes qui ont fait tourner des ordinateurs, pendant des mois. Ils ont vérifié la conjecture pour des nombres très grands, et pour tous les nombres testés (des nombres pairs bien sûr), on a trouvé au moins une décomposition en somme de 2 nombres premiers.
    Dans les faits, quand n est très grand (disons n est un nombre avec 50 chiffres), on trouve non seulement une décomposition en somme de 2 nombres premiers, mais on en trouve systématiquement des milliers.

    L'expérience "montre" que : pour n pair et très grand, on trouve systématiquement plusieurs milliers de couples de nombres premiers p et p', tels que p+p'=n (je mets le verbe "montrer" entre guillemets, parce que justement, ça ne montre rien, au sens mathématique du terme).

    Ça conforte dans l'idée que même si on recherche avec des n encore plus grand, on trouvera toujours au moins un couple de nombre premiers.
    Tout le monde est archi-convaincu de ça...
    Mais ça ne fait pas une preuve.

    Donc quand quelqu'un dit : j'ai fait les mêmes calculs, sur quelques nombres, ça ne sert à rien, ce n'est pas un argument, c'est vide. Ça sert à illustrer, au cas où un lecteur ne connaîtrait pas le sujet. Mais ça ne prouve rien. D'autres ont déjà fait les mêmes calculs, pas seulement sur une dizaine de nombres, mais sur des milliards de milliards, et même à ce niveau, ce n'est pas une preuve.

    Le point que personne n'arrive à atteindre, c'est de bâtir une démonstration.

    Bâtir une conviction, c'est facile : on fait les calculs, sur énormément de nombres, et on constate que systématiquement, il y a une solution.
    Mais ça, c'est une conviction, ou une croyance. Pas une démonstration.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • Je vous remercie tous les deux pour vos messages.

    Ce que je voulais dire c'est qu'imaginons que la démonstration nécessite 4 étapes mais qu'une de ces étapes serait toujours un point que personne n'arrive à démontrer.

    Pour exemple : Si mes souvenirs sont bons, pour la démonstration de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil (ou une partie), M. A. WILES avait fait une démonstration et celle-ci avait une lacune qu’il a comblée avec un de ces (ex-)étudiants, un an plus tard.

    Je voulais savoir (pour la conjecture de GOLDBACH) s’il y avait une telle situation : Une démonstration qui buterait sur un point précis que personne n’arrive à dépasser/démontrer.

    Cordialement,

    CYD
  • Ça reste très vague, il y a sûrement plusieurs méthodes d'attaque connues. Je peux te citer le

    Théorème (Chen, 1966) : tout entier pair suffisamment grand est somme d'un nombre premier, et d'un nombre presque premier (c'est-à-dire premier ou produit de deux nombres premiers).

    Personne n'est parvenu à transformer la condition sur le deuxième terme en "nombre premier". La raison profonde étant ce que l'on appelle la "barrière de parité", qui grossièrement dit que les méthodes de cribles seules ne peuvent distinguer entre les ensembles de nombres ayant nombre pair de facteurs premiers des ensembles de nombres ayant un nombre impair de facteurs premiers.

    On ne sait également pas transformer le "suffisamment grand" en "plus grand que $4$". D'après Wikipedia, la plus petite borne connue à ce jour est gigantesque : $e^{e^{36}}$.
  • Je vous remercie beaucoup pour votre dernier message. c'est exactement ce que je voulais savoir.

    Désolé d'être flou. Ne travaillant pas sur ces sujets, je ne maîtrise ni les notations ni les sujets.

    Cordialement,
    CYD.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.