Recherche de polynômes

troisqua

Bonjour

On note $I=\left[0;1\right]$. On suppose qu'un polynôme $p$ à coefficients réels vérifie $p\left(I\right)\subset I$ et que pour toute application $\phi$ réelle et continue sur $I$ on a : \[
\int_{I}\phi\left(t\right)dt=\int_{I}\phi\left(p\left(t\right)\right)dt

\] Le but est de déterminer les polynômes $p$ solutions de ce problème.

L'exercice n'est pas spécialement original (on peut en trouver une solution ici http://michel.quercia.free.fr/oral-2018.pdf (exercice 2)).
J'en cherche d'autres solutions (plus directes si possible). J'ai par exemple une solution qui consiste à montrer qu'en tout point $x$, on a $p'(x)=\pm 1$ mais je suis persuadé qu'il y a encore plus simple.
Curieux de voir de nouvelles pistes