trace et s.g. de GL(E)

nico8

Bonjour à tous,

quelqu'un aurait-il juste un indice pour montrer la formule ($G$ désignant un s.g. fini de $GL(E)$),
$$dim(\cap_{g\in G}\ker(g-Id_E))=\frac1{card(G)}\sum_{g\in G}tr(g)$$

Ben

Heu, je pense qu'il faut considérer la projection sur le sous espace vectoriel qui est l'intersection des noyaux précités, ainsi que la projection sur un supplémentaire de ce sous espace. E est de dimension finie je suppose. Comme le rang d'un projecteur est égal à sa trace, il faudrait voir si on peut écrire la projection sur un supplémentaire du noyau comme $1/card G \sum_G g$ vu que c'est un élément invariant par action à gauche de G.
Ca me fait penser à la deuxième partie de l'écrit II de l'X 2003 ce truc ...

Eric Chopin

Salut,
L'interserction est l'ensemble des x stables par tous les g.
Dans une base contenant une base de ce sous espace F, la
matrice de tous les g s'ecrit par blocs, composé de l'identité sur
F. Si on se restreint a l'autre bloc la somme des traces est nulle
du fait qu'on a une representation irreductible du groupe, distincte de
l'identité (voir lemmes de schur), la somme
des traces sur E en entier donne donc la dimension de F multiplié
par le nombre d'element de g.

Enfin je pense... ;-)

A+

Eric

nico8

Merci pour vos réponses, un truc:

"Si on se restreint a l'autre bloc la somme des traces est nulle du fait qu'on a une representation irreductible du groupe"

je ne vois pas trop...

Tsss1

Montre que, si G sous groupe fini d'ordre n, alors h=1/n*Somme(g€G,g) est un projecteur.
Donc son rang est égale à sa trace.
Il te reste à montrer que le rang de h est égale au membre de gauche.

nico8

Merci, c'est clair maintenant, je ne me rappelais plus du truc de la projection...

Eric Chopin

Effectivement en faisant intervenir le projecteur (encore appelé
opérateur de Reynolds) ça revient sensiblement à ce que je disais mais
c'est plus simple à expliquer (j'ai un peu utilisé le bulldozer pour écraser
la mouche ....).

a+

eric