Inégalité sommets-faces d'un 3-polytope

johnsmoke

Bonjour
J'ai deux questions que j'aimerais résoudre mais je m'y connais peu en polytope, alors les voici.

P est un 3-polytope.
- Montrer que P ou sa polaire possède une face qui est un triangle
- Montrer que si $v_3$ est le nombre de sommet de degré 3 (i.e 3 arrêtes partent de ce sommet), et $f_3$ le nombre de face qui est un triangle, alors $v_3 + f_3 \ge 8$.

J'ai remarqué que lorsque P est le simplexe de degré 3, alors $v_3 + f_3$ vaut précisément 8. Ca me donne l'idée de faire un argument par réduction : on passe de P au simplexe par des opérations (style fusion de sommets, délétion suppression d’arêtes ou je ne sais quoi) qui sont telles que la somme $v_3 + f_3$ ne peut que diminuer, et le tour est joué.
Je me demande aussi s'il ne faut pas utiliser le théorème de Steinitz et reformuler les questions dans les graphes planaires ?
Merci de toute aide.

LOU16

Bonjour
J'ignore ce qu'est la polaire d'un polytope, donc je n'ai pas de réponse immédiate à la première question.

Pour la deuxième, il y a ça:
La "formule d'Euler " dit que, $\:v,a,f \:$ désignant respectivement les nombres de sommets, arêtes, faces du polytope : $$ v+f =a+2.\qquad(\star).
$$ D'autre part, le décompte du nombre d'arêtes à partir du nombre de sommets, puis à partir du nombre de faces donne : $$

2a \geqslant 3v_3 + 4(v-v_3),\qquad 2a \geqslant 3f_3 + 4( f-f_3).
$$ d'où l'on déduit : $\ 4a\geqslant 4(v+f) -(v_3+f_3),\quad$ puis avec $(\star):\quad v_3 +f_3\geqslant 8.$

PS. Je viens de lire quelques bricoles sur la polaire d'un polytope et crois avoir compris que le nombre de faces triangulaires de celle-ci était égal à $v_3$.
Ainsi, si le polytope et sa polaire ne possèdent aucune face triangulaire, alors $v_3=f_3 =0,$ et les relations écrites plus haut deviennent:
$2a\geqslant 4v, \qquad 2a \geqslant 4f ,\qquad 4a\geqslant 4(v+f) =4a +8,\quad$ ce qui est impossible.