Points isogonaux

Bonne nuit,

Un problème de Tran_Quang_Hung:

$M,N$ et $P,Q$ sont deux paires de points isogonaux par rapport au triangle $ABC$
On termine le quadrilatère complet $MNPQST$, c'est à dire:
Les droites $(PM)$ et $(QN)$ se coupent en $S$.
Les droites $(PN)$ et $(QM)$ se coupent en $T$.
1) Montrer que $S$ et $T$ sont également isogonaux.
2) Montrer que le point de Miquel $X$ de $MNPQST$ est sur le cercle circonscrit à $ABC$.
3) Montrer que la droite de Newton de $MNPQST$ est orthogonale à la droite de Simson de $X$ par rapport à $ABC$.

Cordialement,

Rescassol

PS: Morley circonscrit en est venu à bout, je vais pouvoir regarder les deux derniers exos de Bouzar.96104

Réponses

  • Bonjour,

    pour la question 1: c'est le théorème de Hesse

    http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/La fascinante figure de Cundy.pdf p. 23-24

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Bonjour Rescassol
    Il faudrait peut-être reformuler l'énoncé car "On termine le quadrilatère complet $MNPQST$" est (pour moi en tout cas) on ne peut plus ambigu et seule ta figure m'a permis de comprendre que les droites $MN$ et $PQ$ n'étaient pas des côtés de ce quadrilatère et de savoir qui était $S$ et qui était $T$.
    Bien cordialement. Poulbot
  • Bonjour,

    D'accord, Poulbot, j'ai modifié l'énoncé en ce sens.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Bonjour.

    On prend $\mathcal L_1=MP$, etc. et on fait tourner la machine quadrilatérale (avec $M\simeq p:q:r$ et $P\simeq u:v:w$).
    on trouve finalement que $isogon(Mq)$ appartient à la droite de Newton du quadrilatère. Or ce point est l'orthodir de la droite de Steiner de $Mq$ par rapport à $ABC$. Et donc cette droite de Steiner est parallèle à l'axe de Steiner du quadrilatère.

    Cordialement, Pierre.96120
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