La décomposition LU

Bonjour,
je travaille sur cette notion de décomposition LU.
Je dois montrer le sens : tous les déterminants principaux d'une matrice A sont non nuls $\Rightarrow$ A se factorise sous la forme LU de manière unique.
J'ai sais le principe sur la première itération.

On suppose que tous les déterminants de $A=(a_{ij})\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ sont non nuls.
Donc $a_{11}=\Delta_1(A)\neq 0$.
On l'utilise alors comme pivot en posant $\lambda_{i1}=-\frac{a_{i1}}{a_{11}}$.
On considère $F_1=\prod_{i=2}^nT_{i1}(\lambda_i1)$ le produit commutatif des matrices de transvections.
Soit : $F_1=
\begin{pmatrix}
1&0&0&\cdots &0\\
\lambda_{21}&1&0&\cdots &0\\
\lambda_{31}&0&1&\cdots &0\\
\vdots & \vdots & \vdots&\ddots & \vdots \\
\lambda_{n1} & 0 & 0 &\ldots & 1 \\
\end{pmatrix}$
Alors en écrivant : $F_1=\begin{pmatrix}
B_k&(0)\\
*&*\\
\end{pmatrix}$
je trouve $\det(B_K)=1$ (triangulaire inférieure avec des éléments diagonaux égaux à 1).
Puis en écrivant : $A=\begin{pmatrix}
A_k&*\\
*&*\\
\end{pmatrix}$
je trouve : $F_1A=\begin{pmatrix}
B_kA_k&*\\
*&*\\
\end{pmatrix}$
D'où : $\Delta_k(F_1A)=\Delta_k(A)$.
Mais : $F_1A=
\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\
0&a_{1,1}^{(1)}&a_{1,2}^{(1)}&\cdots &a_{1,n-1}^{(1)}\\
0&a_{2,1}^{(1)}&a_{2,2}^{(1)}&\cdots &a_{2,n-1}^{(1)}\\
\vdots & \vdots & \vdots&\ddots & \vdots \\
0&a_{n-1,1}^{(1)}&a_{n-1,2}^{(1)}&\cdots &a_{n-1,n-1}^{(1)}\\
\end{pmatrix}$
formant ainsi une matrice $A^{(1)}=(a_{ij}^{(1)})_{1\le i,j\le n-1}$
En développant selon la première colonne, je trouve : $\Delta_{k+1}(F_1A)=a_{11}\Delta_k(A^{(1)})$ où $k\in 1,n-1$
Soit : $\Delta_k(A^{(1)})=\dfrac{\Delta_{k+1}(F_1A)}{a_{11}}=\dfrac{\Delta_{k+1}(A)}{a_{11}}\neq 0$.
En particulier $\Delta_1(A^{(1)})=\dfrac{\Delta_{2}(A)}{\Delta_{1}(A)}\neq 0$. Donc on peut l'utiliser comme pivot.

Et c'est là que je coince.
J'imagine qu'il faut réitérer mais j'ai bien du mal à l'écrire.
Dois-je poser $\large\lambda_{i1}=-\frac{a_{i1}}{\frac{\Delta_{2}(A)}{\Delta_{1}(A)}}=-a_{i1}\times\frac{\Delta_{1}(A)}{\Delta_{2}(A)}$ ?
Pour le produit de matrices de transvections, je pense ne pas me tromper en écrivant :
$F_2=\prod_{i=3}^nT_{i2}(\lambda_{i2})$.

Qu'en pensez-vous ?
Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci.
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