Dérivation terme à terme ?

BMaths

Bonsoir,
un petit blocage sur l'exercice suivant.

Dans un exercice, j'ai prouvé que $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+p^2}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{p^{2k+2}}x^{2k}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{p^{2k+2}}u_k(x)$ lorsque $|x|<p$, avec $u_k(x)=x^{2k}$.
Je me demande pourquoi pourquoi $\displaystyle f^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{p^{2k+2}}u_k^{(n)}(x)$.
Cela me fait penser au théorème de dérivation terme à terme :
$\displaystyle f'(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{p^{2k+2}}u_k'(x)$.
Est-ce que je suis sur la bonne piste ?

Philippe Malot

Bonsoir,
Tu sembles effectivement sur la bonne piste, il ne reste plus qu'à trouver pourquoi tu peux l'appliquer.
Si tu as étudié les séries entières (puisqu'il s'agit d'une telle série ici), tu as peut-être dû voir qu'on pouvait dériver terme à terme dans le disque (l'intervalle ici) de convergence.