Mordell
Bonsoir, en feuilletant Diophantine Equations de L.J. Mordell, je suis tombé sur l'affirmation suivante.
The field $ \mathbb{Q}(\sqrt{-2}) $:
The equation $ y^2 + 2 \; = \; x^3 $ has only the integer solutions $x = 3, \; y = \pm 2$.
Dois-je m'attendre à d'autres cagades de ce genre dans ma lecture (je venais d'ouvrir ce bouquin pour la première fois et en prenant une page au hasard) ou bien s'agit-il d'un phénomène isolé ?
The field $ \mathbb{Q}(\sqrt{-2}) $:
The equation $ y^2 + 2 \; = \; x^3 $ has only the integer solutions $x = 3, \; y = \pm 2$.
Dois-je m'attendre à d'autres cagades de ce genre dans ma lecture (je venais d'ouvrir ce bouquin pour la première fois et en prenant une page au hasard) ou bien s'agit-il d'un phénomène isolé ?
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Réponses
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Bonjour Gilles Benson,
Personne ne t'a répondu, c'est pas bien. Mais à vrai dire, ce n'est peut-être pas si facile de comprendre ta question à cause de ton ``en feuilletant''.
Non, ce n'est pas du tout une évidence. Je t'attache un exercice corrigé qui prend cela en charge de manière self-contained (en principe). Il y a marqué ``Préparation à l'Agégation'' (ma jeunesse fout le camp) mais il avait été écrit pour des petit(e)s de L3 (troisième année). Faire attention que chez moi c'est $x^2 + 2 = y^3$ versus $y^2 + 2 = x^3$ chez toi, en position habituelle des variables d'une courbe elliptique.
Je ne sais pas si cela répond à ta question.
PS : puisque tu as le livre de Mordell avec toi, tu peux te rendre compte que c'est un beau sujet. Il y aurait plein de choses à dire sur l'évolution des résultats en citant les grands noms associés aux solutions rationnelles ou entières des équations diophantiennes. En vrac : Mordell bien sûr, Siegel, Becker, Faltings, Lang. Et j'en oublie.
Connais tu la polémique Lang-Mordell ? C'est savoureux. J'adore ces histoires là car cela prouve que les mathématiques ne descendent pas du ciel mais sont faites sur notre terre. -
Typiquement, on procède toujours un peu pareil pour ce genre d'équation : prendre une solution, éliminer des situations simples, puis factoriser le membre de droite dans un corps de nombres adapté. L'un des outils fondamentaux est alors le résultat suivant, dont la preuve, assez facile, repose essentiellement sur les théorèmes de Lagrange et de Bachet-Bézout.
Prop. Soit $K$ un corps de nombres de nombre de classes $h_K$ et soit $\mathfrak{a}$ un idéal entier de $\mathcal{O}_K$. Soit $p$ un nombre premier tel que $p \nmid h_K$. Si $\mathfrak{a}^p$ est principal, alors $\mathfrak{a}$ est principal.
Appliquons ce principe à l'équation de Mordell $x^3 = y^2+2$.
On note $K = \mathbb{Q} (\sqrt{-2})$ et l'on rappelle que $h_K=1$ et que les unités de $K$ sont $\pm 1$. On suppose $(x,y)=1$, et l'équation s'écrit $x^3 = \left( y + \sqrt{-2} \right) \left( y - \sqrt{-2} \right)$ dans $K$. Comme les idéaux $\left( y + \sqrt{-2} \right)$ et $ \left( y - \sqrt{-2} \right)$ sont premiers entre eux, on en déduit qu'il existe deux idéaux entiers premiers entre eux $\mathfrak{a}$ et $\mathfrak{b}$ tels que $\left( y + \sqrt{-2} \right) = \mathfrak{a}^3$ et $ \left( y - \sqrt{-2} \right) = \mathfrak{b}^3$. Ainsi, $\mathfrak{a}^3$ est principal, et la proposition ci-dessus entraîne que $\mathfrak{a}$ est principal. Comme les unités de $K$ sont des cubes, on en déduit qu'il existe $a,b \in \mathbb{Z}$ tels que $y+\sqrt{-2} = \left( a + \sqrt{-2} \right)^3$. L'égalisation des parties imaginaires donne $b \left(3a^2 -2b^2 \right) = 1$, d'où $b = \pm 1$, puis $3a^2-2 = \pm 1$, ce qui donne $a = \pm 1$. En remplaçant ci-dessus, on obtient $y = \pm 5$ puis $x = 3$. On vérifie réciproquement que $(3,5)$ et $(3,-5)$ sont solutions.
En espérant ne pas avoir empiété sur le message de Claude Quitté, pour lequel j'avoue ne pas avoir lu son pdf indiquant sa méthode.
On note aussi que Gilles Benson donne comme solutions $(3,2)$ et $(3,-2)$...Je suppose qu'il s'agit d'une coquille, car on a bien $y = \pm 5$ et non $\pm 2$. -
Je crois que si personne n'a répondu, c'est que la question est sans réplique: ni le couple (2,3) ni le couple (-2,3), ni leurs réciproques ne sont solution de x2+2=y3.
Merci néanmoins pour la réponse instructive concernant l' équation en elle-même.
Je crois avoir lu quelque part que c'est Fermat qui a démontré par la "descente infinie" l'unicité de la solution (5,3) avec des naturels. -
Bonjour,
J'ai une question de notation qui me tarabuste depuis un bon moment.
Pourquoi les arithméticiens notent ils $\sqrt{-2}$ qui me pique les yeux, et on mettrait au cachot un élève de TS qui l'écrirait, au lieu de $i \sqrt{2}$ ?
Cordialement,
Rescassol -
Hello,
Quand tu écris $i \sqrt{2}$ et bien tu es obligé de créer $2$ symbole : $i$ qui vérifie $i^2=-1$ et $\sqrt{2}$ qui vérifie $\sqrt{2}^2 =2$ ! Mais ce que tu veux c'est un symbole qui vérifie $x^2=-2$.
Par exemple dans $\mathbb{F}_{11}$, on a : $3^2=9 = -2$ et donc tu as une racine de $-2$, donc une interprétation de $\sqrt{-2}$ mais tu n'as pas de solution à $x^2=-1$, et donc l'égalité que tu donnes n'a pas de sens dans $\mathbb{F}_{11}$, il faut passer à $\mathbb{F}_{11^2}$ ! -
Salut Rescassol,
J'essaie de répondre à ta question. Ce qui suit m'est vraiment arrivé avec des petit(e)s. Imagines que l'on utilise $i\sqrt 2$ et que l'on fasse des choses de la vie (arithmétique) dans l'anneau $\Z[i\sqrt 2]$ ou dans le corps $\Q(i\sqrt 2)$. Donc on manie des expressions, des égalités, avec des entiers, rationnels et $i \sqrt 2$. Il ne faudrait surtout pas avoir l'idée de décoller le $i$ de $\sqrt 2$ et de se retrouver avec des expressions/égalités dans lesquelles $i, \sqrt 2$ sont séparés.
Car ces deux éléments $i, \sqrt 2$, sont SORTIS du corps initial dans lequel on étudie l'arithmétique : $i \notin \Q(i\sqrt 2)$ et pareil $\sqrt 2 \notin \Q(i\sqrt 2)$. Conduisant à des aberrations.
Et cela m'est vraiment arrivé dans un devoir d'étudiant(e). Etant le genre de gars vachement autoritaire (à l'époque), j'ai interdit l'usage de $i\sqrt 2$ chez mes petit(e)s.
Bon week-end à toi. -
Bonjour,
D'accord, merci à vous deux pour cet argument convaincant.
C'est plus ou moins le même, mais je préfère la formulation de Claude.
Faudrait il alors dire aux TS: "Attention, on vous dit ça maintenant, on vous dira le contraire plus tard" ?
Sans compter que s'il font de l'analyse complexe en L2/L3, ils risquent d'écrire $f:z \mapsto \sqrt{z}$ !
Cordialement,
Rescassol -
Rescassol,
Il s'agissait d'étudiant(e)s de troisième année, pas de T.S. Et de choses de la vraie vie, je veux dire de l'algèbre et/ou de l'arithmétique. -
Pas d'ambiguité à avoir : le symbole $\sqrt z$ avec $z \in \mathbb{C}$ doit être proscrit en terminale S et même après, d'autant que la fonction "racine carrée" est quand même loin d'avoir la même signification que dans le champs réel.
Seules quelques habitudes en théorie des nombres m'ont fait écrire comme ça.
Quant à la coquille dans le livre de Mordell, ça arrive à tout auteur d'un livre, d'un poly, d'un article, etc...C'est (très) fréquent. En revanche, Mordell fut un très grand arithméticien, avec en particulier des contributions fortes dans l'estimation de sommes d'exponentielles sur des corps finis.
Edit : Merci à Chaurien pour la correction orthographique. -
Beaucoup de choses à dire dans ce fil.
1. J'éprouve depuis longtemps un intérêt particulier pour cette équation $x^2+2=y^3$, $~~$ qu'on trouve à plusieurs endroits dans les écrits de mon glorieux congénère languedocien Pierre Fermat : lettre à Digby de 1657, ou à Carcavi en 1659. J'étais très impressionné par l'intervention de ce qu'on appelait l' « algèbre moderne » dans un problème concernant nos bons vieux nombres entiers.
À l'oral de l'agrégation je suis tombé sur « exemples d'anneaux » et j'ai proposé cette application de l'anneau $\mathbb Z [i \sqrt {2}] $, et ça a dû plaire car j'ai été reçu. Il y a quarante ans et plus, c'était peut-être original, va savoir...
Je ne maîtrise pas assez la théorie des nombres pour la solution de noix de toto, mais lui si j'ai bien compris c'est sa spécialité, et moi, de spécialité, je n'en ai pas. J'ai procédé comme Claude Quitté en montrant que l'anneau $\mathbb Z [i \sqrt {2}] $ est euclidien, pour la raison que : $\displaystyle \underset{z\in \mathbb{C}}{\max }d(z,\mathbb{Z}[i\sqrt{2}])=\frac{\sqrt{3}}{2}<1$ : un argument de géométrie, tiens donc, euclidienne. Anneau euclidien, donc principal, donc factoriel, etc. Dans ses lettres, Fermat signale aussi l'équation $x^2+4=y^3$, qui se traite de même avec l'anneau des entiers de Gauss $\mathbb Z [ i] $, euclidien lui aussi.
À suivre...
Bonne soirée.
Fr. Ch. -
Il y a également l'équation de Bachet, assez similaire : $y^3=x^2+5$.
La méthode exposée ci-dessus montre que cette équation n'a aucune solution dans $\mathbb{Z}^2$. -
Je pense qu'une autre raison pour laquelle on écrit $\sqrt{-d}$ au lieu de $i\sqrt{d}$ en théorie des nombres est la suivante : le discriminant du corps $\mathbb Q(\sqrt d)$, que $d$ soit positif ou non, vaut $4d$ si $d \equiv 1$ mod $4$ et $d$ sinon. C'est facile à retenir, tandis que si on devait donner deux règles pour le cas $\mathbb Q(\sqrt d), d > 0$ et deux règles en sens inverses pour le cas $\mathbb Q(i\sqrt d), d > 0$, on ne s'en sortirait pas !
-
2. Le livre de Mordell, Diophantine Equations, Academic Press, 1969, je l'ai acheté pour 50 F il y a quelque quarante ans à la librairie Albert Blanchard, rue de Médicis à Paris, au Quartier Latin. J'étais tombé dessus par hasard, d'où l'intérêt qu'existent des librairies qui soient de vrais magasins dans le monde physique, et celui-ci a malheureusement fermé il y a un an environ. J'utilise ce livre à l'occasion et depuis tout ce temps je ne m'étais pas aperçu de la « cagade » signalée par Gilles Benson, qui concerne pourtant une équation à laquelle je me suis intéressé.
C'est un monde les équations diophantiennes. Louis Mordell (1888-1972) s'est toujours occupé de ce sujet et spécialement des équations $y^2 = x^3 + k$, avec $k$ entier positif ou négatif, très présentes dans l'ouvrage en question. Selon les valeurs de $k$, les méthodes de résolution peuvent varier de beaucoup. Dans la littérature mathématique, ce type d'équation diophantienne est souvent désigné sous le nom d'équation de Mordell, mais actuellement il semble que cette appellation soit remplacée par équation de Bachet, ce qui n'est pas pour me contrarier car Claude Gaspar Bachet de Méziriac (1581-1638) fut un à la fois un érudit et un mathématicien français, membre de la toute première Académie française en 1635. Mais il me semble injuste d'oublier l'apport de Mordell à cette question. Enfin c'est aux théoriciens des nombres d'en décider.
Je ne connaissais pas la controverse Mordell-Lang évoquée par Claude Quitté. Bien d'accord avec lui sur l'intérêt de tels débats qui montrent notre discipline vivante, j'ai trouvé ceci : https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183532391. Je n'ai pas très bien compris les critiques de Serge Lang (1927-2005), du fait de mon médiocre niveau en anglais, mais il me semble qu'il reproche à Mordell de n’avoir pas donné les résultats les plus récents. Je n'ai pas qualité pour en juger. Richard K. Guy, dans Unsolved Problems in Number Theory, Springer, 1981, 1994, 2004, cite élogieusement l'ouvrage de Mordell. Si Claude Quitté a d'autres informations à ce propos, j'aimerais qu'il nous les communique.
Bonne journée, de saison.
Fr. Ch. -
Bonjour Chaurien,
J'ai le même problème en ce qui concerne l'anglais. Ce que tu pointes est le review de Lang (1970) sur le livre de Mordell (1969). Mais il faut savoir que dans le passé il y a eu, en 1964, un ``fameux'' review par Mordell du livre de Lang (Diophantine Equations Geometry de 1962). Assez sévère en un certain sens, pour autant que je puisse en juger.
Peux tu essayer de le retrouver sur le net ?
Il y a aussi cela de Serge Lang https://www.degruyter.com/downloadpdf/j/dmvm.1994.2.issue-4/dmvm-1994-0407/dmvm-1994-0407.pdf qui est lié à cette histoire.
Il me semble que S. Lang dans son autre ouvrage de 1983 (Fundamentals of Diophantine Equations Geometry) avait été jusqu'à mettre en annexe le texte intégral du review de Mordell (celui de 1964).
Voilà, voilà. Bonne lecture. Correction après le post de Chaurien -
Bonsoir Claude Quitté.
Le livre de Serge Lang de 1962 est Diophantine Geometry, et le review de Mordell est sans doute ici : https://www.ams.org/journals/bull/1964-70-04/S0002-9904-1964-11164-2/S0002-9904-1964-11164-2.pdf
J'ai lu rapidement, je n'ai pas tout compris pour la raison que j'ai dite plus haut, mais ça m'a l'air d'un sacré éreintement !
J'ai l'impression qu'il s'agit d'un désaccord sur le mode d'exposition, Lang étant jugé trop « bourbakiste » et peut-être peu soucieux d'être compris, mais ce n'est qu'une conclusion provisoire après une lecture superficielle et malaisée. Je me dispose à présent à regarder le livre de Lang de 1962 et celui de 1983, Fundamentals of Diophantine Geometry. La mésentente me semble avoir été profonde entre les deux hommes.
J'ai rencontré Serge Lang à Paris en 1981, lorsqu'il était venu au Palais de la Découverte, à l'initiative de Jean Brette, pour faire des exposés accessibles à un large public, et édités ensuite en français par Belin. C'était un homme énergique et sympathique, parlant un français parfait, qui donnait l'impression d'une intelligence pénétrante.
Bonne nuit.
Fr. Ch. -
Rebonjour Chaurien
J'ai corrigé les noms des ouvrages (Geometry versus Equations).
Effectivement, ce que l'on peut comprendre assez facilement, c'est un profond désaccord entre ces deux mathématiciens, sur la manière d'exposer. Pas facile pour moi d'en cerner les aspects : d'une part, mon anglais me pose beaucoup de problème(s) et bien entendu les théories mathématiques mises en jeu. Malgré cela, j'ai envie de dire que c'est intéressant. -
Bonjour, j'avais abandonné ce fil puisque ne produisant pas de réponse ; que nenni ! Merci Claude Quitté pour le document que j'envisage de consulter. Le livre de Mordell ne se trouve ces derniers temps qu'à des prix prohibitifs sur la toile et j'étais content de me l'être procuré sans faire de grosses folies. Est venu le temps d'y jeter un œil et j'ai choisi un chapitre accessible et pas trop théorique d'où ma surprise en constatant la coquille en question.
Noix de totos : merci pour le calcul mais ce n'est pas moi qui donne la solution erronée mais Mordell ; la bonne solution se trouvait de tête, la question étant de prouver qu'il n'en existait pas d'autre non triviale.A demon wind propelled me east of the sun -
Oui : au début, j'ai cru que la coquille venait de toi, d'où mon calcul détaillé, puis en 2nde lecture, j'ai compris qu'elle provenait du livre.
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Rebonjour, en ouvrant le document de Claude Quitté, je vois qu'il y est question de Siegel qui lui aussi avait une opinion très négative de Serge Lang...A demon wind propelled me east of the sun
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Gilles,
Je l'ai déjà pointé mais peu importe. Tu as entendu parler de la lettre de Siegel à Mordell, lettre dans laquelle Siegel n'est pas tendre avec Lang
"just now, Lang has published another book on algebraic numbers which, in my opinion, is still worse than the former one. I see a pig broken into a beautiful garden and rooting up all flowers and trees" ...etc...
in https://www.degruyter.com/downloadpdf/j/dmvm.1994.2.issue-4/dmvm-1994-0407/dmvm-1994-0407.pdf
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