Pi et phi

donnet

Bonjour ,

je cherche une démonstration géométrique ou autre de la formule :

Pl/4 = arctan(phi) -arctan(1/(phi³ ))

où pi est est la constante d'Archimède 3.14......
et phi le nombre d'or 1.618...

en vous remerciant de votre aide,

courtoisement
serge Donnet

Calli

Bonjour,
Il faut appliquer la formule trigonométrique de $\tan(a+b)$.

Fin de partie

Avec la formule suggérée par Calli cela revient à montrer, par exemple, que $\dfrac{1-\varphi}{1+\varphi}=-\dfrac{1}{\varphi^3}$

En sachant que $\arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}$ et $\varphi^2=\varphi+1$ on y arrive très facilement.

donnet

merci Calli et FdP de votre réponse rapide et si concise .


Cependant je cherchais une démonstration plus" Géométrique" car le mot arctan suppose des rapports entre des longueurs.
Peut être liés aux nombres de Lucas ou Fibonacci.Mais je ne vois pas d'articulation me permettant d'aller plus loin.

Slts

Fin de partie

Donnet a écrit:

car le mot arctan suppose des rapports entre des longueurs.

Quelles longueurs?

Calli

Géométriquement, je ne sais pas trop... Je ne vois pas comment récupérer l'angle $\widehat{HAC}$. Les habitués de la géométrie du forum auront peut-être des idées...
(Les rectangles tracés sont des rectangles d'or.)

fm_31

Bonjour
Peut-être comme dans le fichier joint.
Cordialement.

pldx1

Obvious is obvious. On construit $K$ par $ABC=CEK$. Alors $ACK$ est rectangle isocèle. Puis on constate que $AH$ et $AK$ ont la même pente. Comme une courbe "qui va tout droit" est une ligne droite, les points $A,H,K$ sont alignés. Et c'est fini.

fm_31

Un peu plus direct

donnet

merci de votre aide à tous .

slts
sd