Comparaison et équation non linéaire

Bonjour

Si $f,g \in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})$ sont des fonctions tellesque $f \leq g$ et que $\phi$ (resp. $\psi$) est solution de $y' = f(t,y)$ (resp. $y' = g(t,y)$) sur $I$ (resp. $J$), alors si $\phi$ et $\psi$ coïncident en un point $t^*$ a-t-ton $\phi \leq \psi$ sur $I \cap J \cap [t^*, +\infty[$ ?

Je pense que oui, c'est la même idée que le lemme de Gronwall le problème c'est que la preuve "usuelle" (on dérive $\frac{\phi}{\psi}$) ne marche pas ici, j'ai cherché d'autres moyens de démontrer le lemme de Gronwall dans l'espoir de trouver une preuve qui s'adapte mais je ne suis pas parvenu à trouver quelque chose de satisfaisant.

Réponses

  • Bonjour,

    Peut-on établir que $\phi’\leq \psi’$ ?
    Si oui, quel est le tableau des variations de $\phi-\psi$ ?
    Peut-on lire sur le tableau le résultat recherché ?
  • Si $\phi' \leq \psi'$ alors $\phi-\psi$ est décroissante et donc comme elle est nulle en $t*$ on a le résultat jusque là on est d'accord, ce qui coince c'est montrer que $\phi' \leq \psi'$ ce qui revient à comparer $f(t,\phi(t))$ et $g(t,\psi(t))$ et là j'ai un peu de mal car tout ce que je trouve à dire c'est que $f(t,\phi(t)) \leq g(t,\phi(t))$.
  • Bonjour,

    Effectivement c’est plus difficile que je pensais.

    Je ne sais pas résoudre cet exercice.

    L’énoncé permet de dériver $f,g$ mais je ne sais pas l’utiliser. Et je ne connais pas Gronwall.

    Bref, si une bonne âme passe par ici...
  • Bonjour

    Je pense qu'il faut jouer avec $(\phi-\psi)^+$ la partie positive de $\phi-\psi$, c'est-à-dire multiplier la différence des équations par $(\phi-\psi)^+$, intégrer et utiliser pour le membre intégré de droite la décomposition
    $$ [f(t,\phi(t))-g(t,\psi(t))]= [f(t,\phi(t))-f(t,\psi(t)) ]+ [f(t,\psi(t))-g(t,\psi(t))]$$
    le second terme on le balance à gauche (signe constant), le 1er terme servira pour Gronwall appliqué à la fonction $((\phi-\psi)^+)^2$.
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