$\pi(x)$ sans 2

CyD

Bonjour à tous,
je regarde la méthode de Legendre pour calculer $\pi(x)$ la fonction de compte des nombres premiers : M. Legendre calcule :

Equation $(E)$ : $x-\sum_{i}[x/p_i]+\sum_{i<j}[\frac{x}{p_ip_j}]-\sum_{i<j<k}[\frac{x}{p_ip_jp_k}] ...$ où $[.]$ indique la partie entière.

Dans Wikipédia, ils précisent que c'est égale à $\pi(x)-\pi(\sqrt{x})+1$
Hors Or, supposons que je veuille regarder les nombres jusqu'à 100, mais sans prendre en compte le chiffre 2.
Comme le chiffre 2 compte pour 1 aussi bien dans $\pi(100)$ que dans $\pi(\sqrt{100})$, j'aurai tendance à penser que $\pi(100)-\pi(10)+1$ est constant, que je prenne en compte 2 ou pas. En même temps, je trouve que c'est absurde et ce, d'autant plus que dans $(E)$ on voit que les nombres qui sont des puissances de 2 ne seront pas "écartés".

Quelle information je ne prends pas en compte ?
Je vous en remercie par avance,
CYD

Poirot

L'information que tu ne prends pas en compte c'est qu'il y a des multiples de $2$ entre $\sqrt{100}$ et $100$. :-D

CyD

Bonjour,
merci pour votre réponse.
On ne peux pas enlever 2 sans prendre en compte les nombres composés pairs.

J'ai une autre question :
je ne trouve pas sur internet d'équation ou de résultat tels que l'on considère $\pi_3(x)$ seulement pour les $x \equiv 3 \pmod{4}$ ou bien $\pi_1(x)$ seulement pour les $x \equiv 1 \pmod{4}$.

J'imagine que ça doit exister. Peut-être que $\pi(x)$ n'est plus appelé fonction de compte des nombres premiers dans ces cas-là. Connaissez-vous des livres, des sites internet où des résultats sont indiqués ?
Bien cordialement,
CYD

Poirot

$\DeclareMathOperator{\Li}{Li}$
Je ne suis pas sûr de bien comprendre la question, mais la notation $$\pi(x; q, a) = |\{p \leq x \mid p \equiv a \mod q\}|,$$ pour $a$ et $q$ premiers entre eux, est standard. On dispose par exemple du théorème des nombres premiers en progressions arithmétiques: $$\pi(x;q,a) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{1}{\varphi(q)} \Li(x).$$

Une bonne référence pour cela Un cours de théorie analytique des nombres d'Emmanuel Kowalski.

CyD

Bonjour,

je me suis mal exprimé, vous avez raison. Votre réponse correspond à la question que j'aurais dû poser. :-D

C'est parfait pour moi. Merci beaucoup.
je vais aller voir.

Cordialement,

CYD