Question sur les intervalles de confiance

Bonjour
Je suis en train d'étudier les statistiques, et je trouve certaines difficultés à comprendre les intervalles de confiance. Bon peut-être que c'est dû à la notation d'une variable aléatoire dans un intervalle qui me dérange, mais je ne comprends pas le raisonnement qui nous amène à avoir un intervalle de confiance.

Je pense un exemple serait bien afin de montrer ma difficulté. C'est un exemple que j'ai lu dans un livre donc a priori tout est correct. Supposons qu'on a 21 mesures d'une grandeur physique, et qu'on a trouvé les valeurs suivantes : $\bar{x}=\frac{1}{21}\sum_{i=1}^{21}{x_{i}}=11.66$ et $\frac{1}{21}\sum_{i=1}^{21}{x_{i}^{2}}=139.36$. On veut donner une estimation par intervalle de confiance de $\sigma ^{2}$ (variance au carré) au seuil de risque 10%.
Normalement, on travaille avec un estimateur de la variance non biaisé : $S^{2}=\frac{21}{20}(\bar{X^{2}}-\bar{X}^{2})$. D'après un théorème, $20\frac{S^{2}}{\sigma ^{2}} \sim \chi _{20}^{2}.$
Là où je ne comprends pas, c'est qu'on va prendre $q_{0.05}$ et $q_{0.95}$ les quantiles d'ordre 5% et 95% de la loi du $\chi _{20}^{2}$ et on va dire que $P(q_{0.05}\leq \frac{20S^{2}}{\sigma ^{2}}\leq q_{0.95})=0.90$.
Je ne comprends pas comment on en est arrivé à ca. Je suis allé voir la table des quantiles de cette loi, et la seule chose que j'arrive à conclure à partir d'elle c'est que si $X$ est une variable aléatoire qui suit la loi du $\chi _{20}^{2}$ alors $P(X\leq 10.85)=0.95$ (le quantile d'ordre 5% est 10.85) et que $P(X\leq 31.4)=0.05$ (le quantile d'ordre 95% est 31.41). Je ne vois pas comment on peut avoir un encadrement, et surtout d'où sort la valeur de $0.90$.

J'espère que vous pourrez m'aider afin de comprendre comment on a obtenu l'encadrement de l'estimateur, et surtout, comment on a choisi ces quantiles.
Merci par avance.

Réponses

  • Ben oui, c'est une intersection, il ne faut pas chercher midi à quatorze heures, ça fait partie des propriétés de la fonction de répartition.

    Si $a < b$ vérifient $P(X \le a) = p_a$, et $P(X \le b) = p_b$, alors $P(a < X \le b) = p_b - p_a$.

    Après, il y a le détail des inégalités larges ou strictes, mais pour une loi continue, comme le $\chi^2$, les deux sont interchangeables.

    Comment on a choisi les quantiles : eh bien il y a plusieurs manières de faire, mais là, on a centré autour de la médiane (test bilatéral)

    On aurait aussi pu regarder un test unilatéral à gauche $(X\le q_{90\%})$ ou a droite $X \ge q_{10\%})$.
  • Ah oui ! Merci pour votre aide !
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