Exercice sur les séries de fonctions

Salut est-ce quelqu'un peut me donner une indication pour démontrer que la série de fonctions en question ne converge pas uniformément sur ]0,a] avec a>094416

Réponses

  • Peut-être en partant de $\ln(1+u)\ge u-u^2/2$ ?
  • C'est pire que ça, Math Coss, on a des $\ln(2)$ en pagaille quand $x \to 0$.
  • Il y avait un fil récemment où on s'arrachait les cheveux à définir la convergence uniforme dans un cadre non-borné.

    Je propose de regarder le critère de Cauchy
    $$
    \left\|
    \sum_{n=0}^{p} f_n
    -
    \sum_{n=0}^{q} f_n
    \right\|_{\infty}
    =
    \left\|
    \sum_{n=p+1}^{q} f_n
    \right\|_{\infty}
    \ge
    \lim_{x\to0^+}
    \left|
    \sum_{n=p+1}^{q} f_n(x)
    \right|
    =
    |q-p| \cdot \ln(2),
    $$
    ce qui ne tend pas vers 0 quand $\min(p,q) \to \infty$.
  • S'il y avait convergence uniforme sur un voisinage de 0, on pourrait appliquer le théorème d'interversion limite-somme, et en particulier la série de terme général constamment égal à $\ln(2)$ convergerait...
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