Combinatoire et jeux d'argent

Bonjour à tous,

Soit le jeu suivant : on lance une pièce de monnaie : le joueur gagne $+1$ si c'est Pile et $-1$ si c'est Face.
Soit $X_n$ la variable aléatoire qui calcule le bénéfice/déficit du joueur en fonction du nombre de lancés $n$.
On s'intéresse à la probabilité $p(X_n = 0)$.

Puisque le jeu est à somme nulle, $X_n = 0$ ssi $P_n = F_n$.
Ainsi, si $n$ est impair, il est impossible d'avoir une somme nulle : $p(X_{2k+1} = 0) = 0$.
Dans le cas contraire, $p(X_{2k} = 0) = \frac{\binom{2k}{k}}{2^{2k}}$

Question : existe-t-il une formule lorsque les coefficients ne sont pas à somme nulle ?
Ex : \begin{array}
\hline
& p_i & x_i \\
\hline
Pile & 40\% & +3 \\
\hline
Face & 60\% & -1 \\
\hline
\end{array} Merci d'avance ! ;-)

Réponses

  • En fait je pense avoir une formule générique : $$

    p(X_n = k) \Rightarrow P \times x_P + F \times x_F = k.

    $$ Par ailleurs $n = P + F$
    En résolvant le système, on trouve :
    $P = \dfrac{k - n \times x_F}{x_P - x_F}\ $ et $\ F = \dfrac{n \times x_P - k}{x_P - x_F}$
    Si les fractions ne tombent pas rond, $p(X = k) = 0$
    Sinon $p(X = k) = \binom{n}{P} \times p_P^P \times p_F^F$
    Avec 3 issues ou plus
    \begin{array}{c|c|c}
    i & p_i & x_i \\
    \hline
    0 & p_0 & x_0 \\
    \hline
    1 & p_1 & x_1 \\
    \hline
    2 & p_2 & x_2 \\
    \hline
    \cdots
    \end{array} Je pense que $p(X = k)$ peut s'exprimer sous la forme $\binom{n}{A} \times \binom{n - A}{B} \times \binom{n - A - B}{C} \times \cdots \times p_A^A \times p_B^B \times p_C^C \times \ldots = \prod_{i=0}^{L-1} \binom{n - \sum_{j=0}^{i-1}{coef_j}}{coef_i} \times p_i^{coef_i}$ avec $L$ le nombre de coefficients.

    Pour déterminer les coefficients le système peut cette fois avoir plusieurs solutions. Peut-être peut-on les obtenir en itérant récursivement (par exemple pour $A$ allant de 0 à $A_{max}$, etc.).
    Ce calcul risque d'être long pour de grandes valeurs de $k$. De plus si on veut calculer $p(X > 0)$, il faut calculer la somme des $p(X_n = k)$ ...
    (Désolé pour le manque de rigueur)

    Pensez-vous qu'il existe une méthode plus efficace ?
    Savez-vous si il existe un outil en ligne qui permette de visualiser $p(X > 0) $ en fonction de $n$ ?
  • https://jsfiddle.net/ud8q04om/3/

    5goBtSWSgseYF25koKhXTlFDHdc3Tq7_FfD9BOKYp8KI0zTQDY9rZ5fjsgrn9bflbYJ1EjLqD8dysScIbyy3=w1920-h912

    Les valeurs de $p_n(X > 0)$ sont de plus en plus difficiles à calculer pour de grandes valeurs de $n$.

    - Existe-t-il une formule approximative pour calculer plus rapidement ?
    - L'espérance de gain étant positive, on pouvait logiquement s'attendre à ce que la probabilité d'être en bénéfice ne fasse que croître en fonction du nombre de tirages. Pourtant la courbe oscille et on peut avoir plus de chances de repartir en bénéfices en effectuant moins de tirages. Il semble aussi qu'un certain motif se répète un peu comme une fractale ... Pour moi ces résultats contredisent l'intuition. Si quelqu'un a une explication, je suis preneur !
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