Nombre d'or et triangles rectangles

donnet

Bonjour à tous
Voici un petit exercice sans prétention.

Pour vous relaxer pendant cette période je vous propose de rechercher le plus grand nombre possible de triangles rectangles dont les cotés, le rayon r du cercle inscrit, et le carré de la distance entre les centres des cercles inscrit et circonscrit s'expriment de façon simple en fonction du nombre d'or Phi.

C'est-à-dire sous la forme d'un binôme de Phi : AxPhiⁿ +B où les deux coefficients numériques A et B et la puissance n du nombre d'or sont exclusivement des multiples positifs ou négatifs de 1/2. Bien entendu ces 3 cotés n'admettent pas de diviseurs communs.

Voici un exemple d'un tel triangle :
les cotés de l'angle droit valent respectivement Phi et 2 Phi
l'hypothénuse Phi +2
le rayon du cercle inscrit l'inverse de Phi
le carré de d les 3/(4xPhi²).

Il semble qu'ils ne soient pas nombreux si on se limite à n < 4.
Courtoisement
Serge.Donnet

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