Question générale

Bonsoir, j'ai une question concernant la proposition suivante qui est une question assez générale.

Soient $A$ un anneau commutatif, $M$ un $A$-module. On suppose qu'il existe des sous-modules monogènes $M_1,M_2,\ldots,M_s$, non nuls, d'annulateurs respectifs $I_1,\ldots,I_n$ vérifiant les conditions :
  1. $I_1\subset \cdots \subset I_n$,
  2. $M=M_1\oplus\cdots \oplus M_n$.
Alors, l'entier $s$ et les idéaux $I_1,\cdots ,I_n$ sont uniquement déterminés par la classe d'isomorphisme de $M$.

Que signifie la dernière phrase dite différemment ?
Merci !

Réponses

  • Ah oui, les invariants de similitude.

    L'unicité signifie que si tu trouves une autre décomposition de $M$ comme somme directe de sous-modules monogènes (cycliques ?), avec leurs idéaux annulateurs en ordre croissant, eh bien, alors la suite croissante des idéaux sera quand même toujours la même que celle que nous avions trouvée avant.
  • ça signifie que si tu as un module $N$ isomorphe à $M$ et une décomposition similaire de $N$ (c'est-à-dire avec des sous-modules monogènes $N_1,...,N_t$ d'idéaux annulateurs $J_1\subset ... \subset J_t$), alors $s=t$ et $J_k = I_k$ pour tout $k$.
  • Super merci, c'est ce qu'il me manquait pour bien comprendre
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