IMO 2005

CQFD

Voici, pour ceux que cela intéresse, les énoncés des Olympiades Internationales de Mathématiques 2005 :

\textbf{Exercice 1}
Six points sont choisis sur les côtés d'un triangle équilatéral $ABC$ : $A_{1},A_{2}$ sur $[BC]$, et $B_{1},B_{2}$ sur $[CA]$ et $C_{1},C_{2}$ sur $[AB]$. Ces points sont les sommets d'un hexagone convexe $A_{1}A_{2}B_{1}B_{2}C_{1}C_{2}$ dont les côtés sont égaux.
Montrer que les droites $(A_{1}B_{2}), (B_{1}C_{2})$ et $(C_{1}A_{2})$ sont concourantes.

\textbf{Exercice 2}
Soit $a_{1},a_{2},\ldots$ une suite d'entiers ayant une infinité de termes strictement positifs et une infinité de termes strictement négatifs. On suppose que, pour chaque entier strictement positif $n$, les nombres $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$ dont $n$ restes, deux à deux différents, après division par $n$.
Montrer que chaque entier figure exactement une fois dans la suite.

\textbf{Exercice 3}
Soient $x,y,z$ des réels positifs tels que $xyz\ge 1$.
Montrer que :
\begin{center}
$\dfrac{x^{5}-x^{2}}{x^{5}+y^{2}+z^{2}}+
\dfrac{y^{5}-y^{2}}{y^{5}+z^{2}+x^{2}}+
\dfrac{z^{5}-z^{2}}{z^{5}+x^{2}+y^{2}}\ge 0$
\end{center}

\textbf{Exercice 4}
On considère la suite $a_{1},a_{2},\ldots$ définie par $a_{n}=2^{n}+3^{n}+6^{n}-1$ ($n=1,2,\ldots$).
Trouver tous les entiers strictement positifs qui sont premiers avec chaque terme de la suite.

\textbf{Exercice 5}
Soit $ABCD$ un quadrilatère convexe dont les côtés $[BC]$ et $[AD]$ sont égaux et non parallèles. Deux points $E$ et $F$, respectivement intérieurs aux côtés $[BC]$ et $[AD]$, vérifient $BE=DF$. Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $P$, les droites $(BD)$ et $(EF)$ se coupent en $Q$, les droites $(EF)$ et $(AC)$ se coupent en $R$. On considère tous les triangles $PQR$ lorsque $E$ et $F$ varient.
Montrer que les cercles circonscrits à ces triangles ont un point
commun autre que $P$.

\textbf{Exercice 6}
Dans un concours mathématique $6$ problèmes ont été proposés aux
concurrents. Toute paire de problèmes a été résolue par strictement plus de deux cinquièmes des concurrents. Personne n'a résolu les $6$ problèmes.
Montrer qu'au moins deux concurrents ont résolu, chacun, exactement $5$ problèmes.