Intégrabilité d'une fonction

Bonjour
Je dois étudier l'intégrabilité de la fonction suivante sur l'intervalle $]0;1[$ : $$

g : x \longmapsto\dfrac{\sqrt{|\ln(x)|}}{(x-1)\sqrt{x}}.

$$ Je pense avoir compris l'idée mais j'ai une rédaction qui n'est pas la plus précise possible. Pouvez-vous me dire ce que vous en pensez ? D'avance merci.

1 - La fonction $g$ est bien définie sur cet intervalle. Elle y est continue.
2 - Les problèmes d'intégrabilité se posent donc au voisinage de $0^+$ et $1^-$.
3 - Au voisinage de $0^+$
Comme $\lim_{x\to 0} x-1 = -1$ alors : $$

g(x)\sim_{0^+}-\dfrac{\sqrt{|\ln(x)|}}{\sqrt{x}}=-x^{-\frac{1}{2}}|\ln(x)|^{\frac{1}{2}}.

$$ Je déduis que : $$

x^{\frac{3}{4}}g(x)\sim_{0^+}-x^{\frac{1}{4}}|\ln(x)|^{\frac{1}{2}}.

$$ Or $\lim_{x\to 0} -x^{\frac{1}{4}}|\ln(x)|^{\frac{1}{2}} = 0$ par le théorème des croissances comparées (puisque $\frac{1}{4}>0$) et donc : $$g(x)=o_{0^+}\Big(\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}\Big).

$$ La fonction $x\mapsto\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ est intégrable au voisinage de $0^+$ : c'est une intégrale de Riemann avec $\frac{1}{4}<1$.
Le théorème de comparaison permet de conclure que $g$ est intégrable.

Qu'en pensez-vous ?
Est-ce exact ?
Est-ce une bonne rédaction ?
Merci encore.
Je ferai le voisinage de $1^- $ ensuite.

Réponses

  • Attention, tu montres que $g(x) = o\big(\frac{1}{x^{3/4}}\big)$, et non pas $\frac{1}{4}$. Sinon le raisonnement est correct (techniquement il faudrait ajouter que la quantité à laquelle $g$ est équivalente en $0$ est de signe constant au voisinage de $0$).
  • Merci !
    Poirot a écrit:
    (techniquement il faudrait ajouter que la quantité à laquelle $g$ est équivalente en $0$ est de signe constant au voisinage de $0$).

    Pourquoi ?
  • Parce que ! ( revoir ton cours)
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Parce qu'on peut avoir deux fonctions équivalentes au voisinage d'un point, avec l'une intégrable et pas l'autre ;-)

    Les critères de comparaison pour conclure à l'intégrabilité/sommabilité nécessitent souvent le signe constant.
  • Oui, il est dit que les fonctions que l'on souhaite comparer doivent être équivalentes et positives.

    http://www.bibmath.net/formulaire/index.php?action=affiche&quoi=intimpropres

    Mais ici, g n'est pas positive.

    Je ne comprends pas l'argument : g est constant. Ou alors il y a un autre théorème ?
  • Avec la rectification $3/4$ en lieu et place de $1/4$ :
    BMaths a écrit:
    $$g(x)=o_{0^+}\Big(\frac{1}{x^{3/4}}\Big).$$
    La fonction $x\mapsto\frac{1}{x^{3/4}}$ est intégrable au voisinage de $0^+$ : c'est une intégrale de Riemann avec $3/4<1$.

    Le théorème de comparaison permet de conclure que $g$ est intégrable.

    Contrairement la comparaison par équivalence, la comparaison par domination ne nécessite pas que la fonction \(g\) soit de signe constant.
  • @BMaths : J'ai écrit de signe constant, ce qui est bien le cas ici.
  • Pour l'intégrabilité au voisinage de $1^-$, voilà ce que j'ai écrit.

    On a $\lim_{x\to 1^-} \sqrt{x}=1$ et $\ln(x)\sim_{x\to 1^-}x-1$.
    Par conséquent : $g(x)=\dfrac{\sqrt{|\ln(x)|}}{(x-1)\sqrt{x}})\sim_{x\to 1^-}\dfrac{\sqrt{|x-1|}}{x-1})$.
    Comme $0<x<1$ alors $|x-1|=1-x$ et donc :$g(x)\sim_{x\to 1^-}-\dfrac{\sqrt{1-x}}{1-x})=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}=-\dfrac{1}{(1-x)^{\frac{1}{2}}}$.

    La fonction $x\mapsto -\dfrac{1}{(1-x)^{\frac{1}{2}}}$ est intégrable au voisinage de $1^-$ car elle est de même nature que la fonction $x\mapsto -\dfrac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ au voisinage de $0$. Cette dernière est une intégrale de Riemann avec $\frac{1}{2}<1$.
    Puisque $g$ est de signe, le théorème de comparaison permet de conclure à l'intégrabilité au voisinage de $1^-$.
  • Arf oui, j'ai mal lu le théorème :

    "Ils vont permettre de ramener l'étude de la convergence d'une intégrale impropre à l'étude de la convergence d'une intégrale impropre plus simple (ou que l'on connait déjà, comme les intégrales de Riemann), dans le cas où les fonctions sont positives au voisinage de b (ou ont toujours le même signe)."

    Pourtant dans l'énoncé du théorème mis en lien sur mon post précédent, il est bien dit que f et g sont à valeurs dans $[0;+\infty[$. Est-ce une erreur dans l'énoncé du théorème ?
  • Bonsoir,
    Non, ce n'est pas une erreur, c'est juste que le cas où $f$ et $g$ sont à valeurs négatives se déduit de façon évidente du cas positif.
    La personne qui a rédigé le cours à sans doute estimé que la remarque au-dessus suffisait pour comprendre qu'on pouvait également utiliser le théorème dans cet autre cas.
  • Je comprends.
    Donc pour conclure, je peux écrire, en posant $h:x\mapsto \dfrac{\sqrt{|x-1|}}{x-1}$ que :
    $g(x)\sim_{x\to 1^-} h(x).$

    Puisque $g$ et $h$ sont des fonctions négatives toutes les deux et que $h$ est intégrable au voisinage de $1^-$ alors le théorème de comparaison s'applique et assure que $g$ l'est aussi au voisinage de $1^-$.
  • Bonjour

    Ìl suffit que l'une des fonctions \(g\) ou \(h\) soit de signe constant au voisinage de 1 ; l'autre a alors le même signe constant au voisinage de 1.
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