Intégrabilité d'une fonction

BMaths

Bonjour
Je dois étudier l'intégrabilité de la fonction suivante sur l'intervalle $]0;1[$ : $$

g : x \longmapsto\dfrac{\sqrt{|\ln(x)|}}{(x-1)\sqrt{x}}.

$$ Je pense avoir compris l'idée mais j'ai une rédaction qui n'est pas la plus précise possible. Pouvez-vous me dire ce que vous en pensez ? D'avance merci.

1 - La fonction $g$ est bien définie sur cet intervalle. Elle y est continue.
2 - Les problèmes d'intégrabilité se posent donc au voisinage de $0^+$ et $1^-$.
3 - Au voisinage de $0^+$
Comme $\lim_{x\to 0} x-1 = -1$ alors : $$

g(x)\sim_{0^+}-\dfrac{\sqrt{|\ln(x)|}}{\sqrt{x}}=-x^{-\frac{1}{2}}|\ln(x)|^{\frac{1}{2}}.

$$ Je déduis que : $$

x^{\frac{3}{4}}g(x)\sim_{0^+}-x^{\frac{1}{4}}|\ln(x)|^{\frac{1}{2}}.

$$ Or $\lim_{x\to 0} -x^{\frac{1}{4}}|\ln(x)|^{\frac{1}{2}} = 0$ par le théorème des croissances comparées (puisque $\frac{1}{4}>0$) et donc : $$g(x)=o_{0^+}\Big(\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}\Big).

$$ La fonction $x\mapsto\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ est intégrable au voisinage de $0^+$ : c'est une intégrale de Riemann avec $\frac{1}{4}<1$.
Le théorème de comparaison permet de conclure que $g$ est intégrable.

Qu'en pensez-vous ?
Est-ce exact ?
Est-ce une bonne rédaction ?
Merci encore.
Je ferai le voisinage de $1^- $ ensuite.

Poirot

Attention, tu montres que $g(x) = o\big(\frac{1}{x^{3/4}}\big)$, et non pas $\frac{1}{4}$. Sinon le raisonnement est correct (techniquement il faudrait ajouter que la quantité à laquelle $g$ est équivalente en $0$ est de signe constant au voisinage de $0$).

BMaths

Merci !

Poirot a écrit:

(techniquement il faudrait ajouter que la quantité à laquelle $g$ est équivalente en $0$ est de signe constant au voisinage de $0$).

Pourquoi ?

gebrane

Parce que ! ( revoir ton cours)

Poirot

Parce qu'on peut avoir deux fonctions équivalentes au voisinage d'un point, avec l'une intégrable et pas l'autre ;-)

Les critères de comparaison pour conclure à l'intégrabilité/sommabilité nécessitent souvent le signe constant.

BMaths

Oui, il est dit que les fonctions que l'on souhaite comparer doivent être équivalentes et positives.

http://www.bibmath.net/formulaire/index.php?action=affiche&quoi=intimpropres

Mais ici, g n'est pas positive.

Je ne comprends pas l'argument : g est constant. Ou alors il y a un autre théorème ?

gb

Avec la rectification $3/4$ en lieu et place de $1/4$ :

BMaths a écrit:

$$g(x)=o_{0^+}\Big(\frac{1}{x^{3/4}}\Big).$$
La fonction $x\mapsto\frac{1}{x^{3/4}}$ est intégrable au voisinage de $0^+$ : c'est une intégrale de Riemann avec $3/4<1$.

Le théorème de comparaison permet de conclure que $g$ est intégrable.

Contrairement la comparaison par équivalence, la comparaison par domination ne nécessite pas que la fonction \(g\) soit de signe constant.

Poirot

@BMaths : J'ai écrit de signe constant, ce qui est bien le cas ici.

BMaths

Pour l'intégrabilité au voisinage de $1^-$, voilà ce que j'ai écrit.

On a $\lim_{x\to 1^-} \sqrt{x}=1$ et $\ln(x)\sim_{x\to 1^-}x-1$.
Par conséquent : $g(x)=\dfrac{\sqrt{|\ln(x)|}}{(x-1)\sqrt{x}})\sim_{x\to 1^-}\dfrac{\sqrt{|x-1|}}{x-1})$.
Comme $0<x<1$ alors $|x-1|=1-x$ et donc :$g(x)\sim_{x\to 1^-}-\dfrac{\sqrt{1-x}}{1-x})=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}=-\dfrac{1}{(1-x)^{\frac{1}{2}}}$.

La fonction $x\mapsto -\dfrac{1}{(1-x)^{\frac{1}{2}}}$ est intégrable au voisinage de $1^-$ car elle est de même nature que la fonction $x\mapsto -\dfrac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ au voisinage de $0$. Cette dernière est une intégrale de Riemann avec $\frac{1}{2}<1$.
Puisque $g$ est de signe, le théorème de comparaison permet de conclure à l'intégrabilité au voisinage de $1^-$.

BMaths

Arf oui, j'ai mal lu le théorème :

"Ils vont permettre de ramener l'étude de la convergence d'une intégrale impropre à l'étude de la convergence d'une intégrale impropre plus simple (ou que l'on connait déjà, comme les intégrales de Riemann), dans le cas où les fonctions sont positives au voisinage de b (ou ont toujours le même signe)."

Pourtant dans l'énoncé du théorème mis en lien sur mon post précédent, il est bien dit que f et g sont à valeurs dans $[0;+\infty[$. Est-ce une erreur dans l'énoncé du théorème ?

Philippe Malot

Bonsoir,
Non, ce n'est pas une erreur, c'est juste que le cas où $f$ et $g$ sont à valeurs négatives se déduit de façon évidente du cas positif.
La personne qui a rédigé le cours à sans doute estimé que la remarque au-dessus suffisait pour comprendre qu'on pouvait également utiliser le théorème dans cet autre cas.

BMaths

Je comprends.
Donc pour conclure, je peux écrire, en posant $h:x\mapsto \dfrac{\sqrt{|x-1|}}{x-1}$ que :

$g(x)\sim_{x\to 1^-} h(x).$

Puisque $g$ et $h$ sont des fonctions négatives toutes les deux et que $h$ est intégrable au voisinage de $1^-$ alors le théorème de comparaison s'applique et assure que $g$ l'est aussi au voisinage de $1^-$.

gb

Bonjour

Ìl suffit que l'une des fonctions \(g\) ou \(h\) soit de signe constant au voisinage de 1 ; l'autre a alors le même signe constant au voisinage de 1.