formes quadratiques...

shadow1

bonjour,

quelqu'un pourrait-il m'expliquer "l'interêt" des formes quadratiques ?

je m'explique, le programme de prépa y consacre un cours minuscule (+ pour introduire les produits scalaires et matrices symétriques qu'autre chose) et je ne trouve quasiment aucun exo dessus, donc j'ai un peu de mal à voir l'interêt profond de cette notion, ainsi que ses applications ...

Merci d'avance à tous ceux qui pourront m'éclairer...

shadow

Totolezero

Bon si tu commences à ecouter ce que la prépa te dit pour ce qu'il en est de certaines notions, tu risque de passer à coté de beaucoup de choses.

papou

Et bien c'est une question d'actualité. Il y a d'ailleurs un groupe de professeurs de spéciale qui "milite" pour la suppression de ce chapitre (très compliqué et qui doit être traité rapidement). En tout cas, il suffit que tu sois OK sur la définition d'une forme quadratique (forme polaire), la caractérisation (polynôme homogène de degré 2) et les deux théorèmes importants (Sylvester et le th. de coréduction si je me souviens bien). Je pense que si tu maîtrises bien ça c'est déjà pas mal. J'espère que je t'ai un peu aidé...

TheVelhoo

En fait ce chapitre c'est beaucoup de définitions et de nouveaux objets plutot qu'autre chose.

Surtout que en général la réduction de Gauss & la loi d'inertie de Sylvester sont juste énoncés.

riri

la loi d'inertie de Sylvester n'était même plus au programme cette année... plus de classification des formes quadratiques, la notion de signature a disparue...

TheVelho

J'ai entendu dire qu'ils allaient enlever les maths en MPSI & MP pour alléger les programmes, c'est vrai ?

club nautique de Pornic

lisez le Savioz, il n'est pas mal sur les formes quadratiques.

il y a aussi le Deheuvels

le must est en anglais : le Scharlau

Richard André-Jeannin1

Scharlau ? C'est un nom difficile à porter.

annemic

c'est un auteur allemand: sharlau se pronnce "sharlawe"!

borde

Je suis plutôt d'accord avec le propos de Papou, dont le message me paraît être de bon sens.

Une application des formes quadratiques ? Je me place à une intersection entre les théories analytiques et algébriques des nombres : soit $\chi$ un caractère non-principal de Dirichlet modulo $q$. A l'aide des formes quadratiques, on montre que $$L(1 ; \chi) \gg \frac {1}{\sqrt q}$$ alors qu'avec la très puissante {\it inégalité de Polya-Vinogradov}, on arrive seulement à $$L(1 ; \chi) \gg \frac {1}{\sqrt q \ln q}.$$ Ceci étant, O. Ramaré a montré que l'on pouvait atteindre la première minoration pour les caractères quadratiques sans utiliser les formes quadratiques.

Borde.

corentin0

En pratique, il faut bien reconnaitre que les formes quadratiques de prépa se limitent à la réduction de coniques, et pour cela, il faut connaitre la terrible formule du changement de base (est ce $P^{-1}A P$ ou $PA P^{-1}$?)

Vianney

En pratique, il faut bien reconnaitre que les formes quadratiques de prépa se limitent à la réduction de coniques, et pour cela, il faut connaitre la terrible formule du changement de base (est ce $P^{-1}A P$ ou $PA P^{-1}$ ?)

Bruno

Bonjour.

C'est très réducteur de réduire les formes quadratiques à celle des coniques :-))

Pour moi, effectivement la théorie projective des coniques est une lecture fine des propriétés des formes quadratiques. Mais elles me paraissent un outil fondamental dans la mesure ou l'identification d'une telle forme dans un problème permet d'en tirer un certain nombre de conclusion sur le problème lui-même ce qui est la caratéristique d'un bon outil.

Voir par exemple comment M.Audin traite joliment les problèmes élémentaires de courbures sur les surfaces dans "Géométrie".

Bruno

ouin

Il faut voir aussi que dans le DL d'une fonction de $n$ variables apparaît un terme constant, puis une forme linéaire, et enfin une forme quadratique. Les comprendre c'est donc étudier localement certaines propriétés des fonctions de $\RR^n$, ce qui revient aussi un peu à étudier des surfaces. En physique, je me souviens vaguement que la théorie de la relativité se place dans un espace-temps muni d'une ``norme '' provenant de la forme quadratique $x^2+y^2+z^2-c^2t^2$ de signature (3,1) par exemple. L'étude des ccônes isotropes ou autre a sûrement un intérêt là dedans. Et aussi dans toutes les géométries exotiques : hyperboliques ou autres. Y'a sûrement aussi des applications dans les EDP. L'allègement des programmes appauvrit la vision des choses c'est sûr, mais bon faut faire des choix.

riri

en spé ça sert à la réduction des coniques, des quadriques et à l'étude des extrema aussi, il ne faut pas l'oublier même si c'est fait en une heure deux semaines avant les concours lol.

michel coste0

Bonjour,

On peut aussi mentionner un problème qui a joué un rôle important dans le développement de la théorie des formes quadratiques au 19e siècle (par exemple théorème d'inertie de Sylvester): c'est celui du comptage des racines réelles d'un polynôme au moyen de la signature d'une forme quadratique associée à ce polynôme.
Vous pouvez voir cet aspect développé dans le texte "Comptage de racines et signature de formes quadratiques" sur le site
<http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/&gt;
(Documents pédagogiques > développements)

Cordialement,

M. Coste

scoum

Bonjour,

on retrouve en fait des formes quadratiques un peu partout en mathématiques et en particulier en géométrie. Il a déjà été fait mention ici de l'étude des coniques ou plus généralement des quadriques, que ce soit sur $\R$, $\C$ ou un corps fini. L'étude de certaines formes particulières (dites fondamentales) permet de donner des précisions sur l'étude des surfaces (voir par exemple le livre de M. Audin, pour une discussion claire et accessible) et plus généralement elles interviennent en géométrie Riemannienne.

Scoum.