Limite suite de fonctions

PolVano

Bonjour,

J'aimerais appliquer le théorème de convergence dominée à une suite de fonctions, seulement je trouve certaines difficultés dans la convergence presque partout vers une fonction. Nous prenons d'abord deux fonctions $f$ et $g$ de classe C¹ sur un segment $[0,M]$ et nous prenons $(x_{0},...,x_{n})$ une subdivision de ce segment. Les suites de fonctions en questions sont : $h_{n}(t)=\sqrt{(\int_{0}^{1}{f'(x(x_{i+1}-x_{i})+x_{i})dx})^{2}+(\int_{0}^{1}{g'(x(x_{i+1}-x_{i})+x_{i})dx})^{2}}$ avec $t\in [x_{i},x_{i+1}[$. Nous pouvons simplifier l'expression des $h_{n}$ en faisant un changement de variable (on aura un $\frac{n}{M}$ qui sortira dans ce cas).
Je veux trouver la limite de $\int_{0}^{M}{h_{n}(t)dt}$, j'arrive bien à montrer la domination grâce au caractère C¹, mais je bloque complétement pour montrer la convergence presque partout vers une fonction $h$.

J'espère que vous pourrez m'aider afin de comprendre comment m'y prendre avec des fonctions définies par morceau et où chaque morceau dépend de $n$ (par les $x_{i}$).

Merci par avance.

Poirot

Ce n'est pas très clair, pour chaque $n$ tu as choisi une subdivision à l'avance pour définir $h_n$ ? Tu imposes quelque chose à tes subdivisions ?

side

supp

gerard0

Il doit aussi y avoir un autre problème : Pas de $t$ dans $f_n(t)$. pas non plus de définition de i.

Attendons que Polvano rectifie (dans un nouveau message) son expression.

Cordialement

Poirot

Je pense que la fonction définie est constante par morceaux, par rapport à la subdivision donnée. Ce qui me chagrine plus c'est la dépendance en $n$, et surtout la manière dont on prend les subdivisions.

gerard0

Ah oui !

En réinterprétant ce qui est écrit, on a effectivement une fonction constante par morceaux, mais sans renseignement sur les choix des subdivisions, pas de lien entre les $h_n$. Il doit manquer des informations ...

Cordialement.

PolVano

Bonjour,

Veuillez m'excuser pour l'imprécision sur le choix de la subdivision. C'est une subdivision à pas constant donc on a les $x_{i}=\frac{M.i}{n}$.Et les $h_{n}$ sont bien constantes par morceaux comme vous l'avez relevé.

Poirot

Bon bah dans ce cas, on commence par montrer que la suite de fonctions $t \mapsto \int_0^1 f'(x(x_{i+1}-x_i)+x_i) \rm{dx}$ lorsque $x_i \leq t < x_{i+1}$ converge simplement vers $t \mapsto f'(t)$, et on en déduit facilement la limite simple des $h_n$.

PolVano

Bonjour,

Je n'arrive pas à le montrer car sur le segment $[x_{i},x_{i+1}[$ l'intégrale en question vaut : $\frac{f(x_{i+1})-f(x_{i})}{x_{i+1}-x_{i}}$ mais après pour tendre $n$ vers $+\inf$ on est aussi les $x_{i}$ qui changent.

Poirot

Les $x_i$ se rapprochent quand $n$ tend vers l'infini. Le quotient que tu écris ne te fait penser à rien de connu ?

PolVano

Bonjour,

Si si si, il me rappelle la dérivée de $f$ en $x_{i}$, seulement en fait, le $x_{i}$ n'est pas un point fixe duquel le $x_{i+1}$ se rapproche (par exemple $x_{i}=1$ et $x_{i+1}=1+1/n$ dans ce cas j'aurais mis directement $f'(1)$) mais dans ce cas, je suis d'accord les $x_{i}$ ils se rapprochent, mais c'est quoi le point de référence ? Je ne sais pas si mon idée est claire... j'espère que j'aurais pu exprimer la difficulté que je rencontre avec le plus de clarté possible.

Merci par avance.

Poirot

Il faut raisonner à $t$ fixé. Pour tout $n \geq 1$, on considère l'unique intervalle $[x_{i_{n,t}}^{(n)}, x_{i_{n,t}+1}^{(n)}[$ de la subdivision qui contient $t$. Que peux-tu dire de la suite $\left(x_{i_{n,t}}^{(n)}\right)_n$ ? Tu peux même donner une expression de $x_{i_{n,t}}^{(n)}$ en fonction de $n$ et de $t$.