critères d'indépendance

e=mc31

Voici deux critères d'indépendance sur lesquels je suis tombé. Le premier semble être démontré grâce à la notion de mesure produit, mais pas évident de faire une démo qui soit limpide. Pour le 2ème je n'ai aucune piste

Soient $X_1$ et $X_2$ des variables aléatoires de $(\Omega, A,P)$ dans $(E_1,E_1)$ et $(E_2,E_2)$ respectivement

(au secours je ne sais pas faire les lettres cursives pour les tribus avec latex).

Alors les v.a . sont indépendantes SSI
1er critère:
pour toute $f_i$ réelle bornée et $E_i$ (cursive) mesurable on
$E(f_1(X_1)f_2(X_2))=E(f_1(X_1))E(f_2(X_2))$
Par ailleurs je cherche un exemple d'application de ce critère
2ème critère:
$)E(e^{i(u_1X_1+u_2X_2)})=E(e^{iu_1X_1})E(e^{iu_2X_2})$ pour tour couple de réels $(u_1,u_2)$
Peut on passer du 1°) au 2°) moyennant une espèce de théorème de "relèvement"

Vianney

Voici deux critères d'indépendance sur lesquels je suis tombé. Le premier semble être démontré grâce à la notion de mesure produit, mais pas évident de faire une démo qui soit limpide. Pour le 2ème je n'ai aucune piste

Soient $X_1$ et $X_2$ des variables aléatoires de $(\Omega,\mathcal{A},P)$ dans $(E_1,\mathcal{E}_1)$ et $(E_2,\mathcal{E}_2)$ respectivement

(au secours je ne sais pas faire les lettres cursives pour les tribus avec latex).

Alors les v.a . sont indépendantes SSI

1er critère:
pour toute $f_i$ réelle bornée et $\mathcal{E}_i$ mesurable on a $E(f_1(X_1)f_2(X_2))=E(f_1(X_1))E(f_2(X_2))$
Par ailleurs je cherche un exemple d'application de ce critère

2ème critère:
$E(e^{i(u_1X_1+u_2X_2)})=E(e^{iu_1X_1})E(e^{iu_2X_2})$ pour tout couple de réels $(u_1,u_2)$

Peut on passer du 1°) au 2°) moyennant une espèce de théorème de "relèvement"

Kuja

Salut e=mc3,

Pour les exemples d'application du 1), il me semble l'avoir vu dans certaines preuves, mais honnetement je ne m'en souviens plus.

Pour la preuve du 2), il suffit de remarquer que si la loi de $(X_1,X_2)$ est le produit des lois marginales, alors la fonction caractéristique du couple est égale au produit des fonctions caractéristiques (un coup de Fubini suffit).

Enfin pour le passage de 1) à 2), si ça peut t'aider, tu pourrais le faire "à la brute" en séparant partie réelle et partie imaginaire.

Amicalement,

ps : Vianney tu as cursé les bonnes :-)

e=mc31

Kuja je n'ai pas compris tes explications avec les fonctions caractéristiques. Utilises-tu implicitement un résultat sur ces dernières ?
En te lisant on a l'impression que tu ne parles que de la partie directe, alors qu'il est clair que le morceau difficile est la réciproque.

Kuja

En fait on fait la partie directe et la réciproque d'un seul coup.
En effet le produit $\varphi_{X_1} \varphi_{X_2}$ (le second membre du 2ème critère) est la fonction caractéristique de la loi produit $P_{X_1} \otimes P_{X_2}$ et le premier membre $\varphi_{(X_1,X_2)}$ est la fonction caractéristique de la loi du couple $P_{(X_1,X_2)}$.
La seule chose que j'ai utilisée implicitement en effet c'est que la fonction caractéristique détermine la loi.

e=mc31

Tu utilises donc l'injectivité de la transformée de Fourier

Kuja

Oui.