Jolie formule Fejér

Fubini

Bonsoir

Ne me dites pas quelle est moche!

Soit $g$ une fonction mesurable sur $\R$ , bornée et de periode $T$ .

Alors pour toute $f \in L^1(\R)$ et pour toute suite $(a_n)_{n\in \N}$ de nombres reels

$$ lim_{n\longrightarrow \infty}\int _{\R}f(x)g(nx+a_n)dx=(\frac{1}{T} \int _0^T g(x)dx).(\int _{\R}f(x)dx)$$

Que pensez vous.

Anselme-Olivier0

Jolie, générale et directe.

Belle généralisation du théorème de...(celui avec le cos et le sinus...)

L'interprètation géométrique est intéressante.

Totolezero

Ca s'écrit Féjer.

Fubini

raté , c'est Fejér

Totolezero

N'importe quoi. C'est Féjer.

oumpapah0

Oui c'est Fejér..

Oump.

Fubini

Lipo't ou Leopold Fejér 1880-1959

Totolezero

on parle pas du meme alors

Fubini

peu importe et la formule alors?

Kuja

Bonsoir,

est-ce que c'est le copain de "De la Vallée Poussin" ?
Sinon, j'aimerais bien avoir la preuve de ce joli résultat.

Amicalement,

Fubini

Copain de , je ne sais pas.
Pour la démonstration page 97 Exercices et problèmes d'intégration de C.George Gauthier_Villars (épuisé) Sinon je peux donner des indications.
Fais moi signe.

Amicalement

Kuja

Le "copain de" c'est car il existe en proba une loi de Fejer-De la Vallée-Poussin et quelques théorèmes aussi il me semble.
Sinon je veux bien des indications, je trouve le résultat très "esthétique".

Fubini

1) on montre le resultat pour des fonctions caracteristiques $f=1_{[\alpha,\beta]}$
2) par linearité , c'est vrai aussi pour toute fonction etagée.

3) dans le cas general

pour tout $\epsilon>0$ il existe une fonction etagée $h$ telle que


$$ \int _{\R}\vert f-h \vert \leq \epsilon$$


et ensuite on travaille avec $lim sup_n $ et on tend$ \epsilon $vers 0

Kuja

Merci Fubini et honte à moi, j'aurais dû supposer qu'on pouvait faire comme ça ...

corentin0

C'est pas une version plus musclée du lemme de Rieman Lebesgue?

Pitou

C'est vraiment un très joli résultat... Et la démo c'est la "machine standard" de je ne sais plus qui.

Moi je vote pour Fejér, il était hongrois il me semble. Vous confondez peut-être avec Féder qui lui est encore vivant ? Pour moi c'est surtout le noyau de Fejér que le pote de la Vallée-Poussin (il doit être au moins 30 ans plus jeune non ?).

Vianney

$$\lim_{n\to \infty}\int _{\R}f(x)g(nx+a_n)\,dx=\left(\frac{1}{T} \int _0^T g(x)\,dx\right).\left(\int _{\R}f(x)\,dx\right)$$

Fubini

Bonjour

je n'ai pas pu m'empecher a vous donner une application directe de ce jolie resultat

Soit $(\rho_n)_{n\in \N}$ et $(a_n)_{n\in \N}$ deux suites de nombres reels telles que
$$ \sum \vert \rho _n cos (nx+a_n)\vert 0


Alors $$ \sum \vert \rho _n \vert