Sous-espace complet d'un espace topologique

Bonjour
Le titre de mon message n'est pas assez long pour éviter une éventuelle confusion mais on est limité :) alors je détaille.

On dispose du résultat bien connu suivant.
Si $(X,d)$ est un espace métrique, si $Y$ est un sous-espace complet (pour la métrique induite par $d$) alors $Y$ est un fermé de $X$.

Mais j'aimerais utiliser le résultat plus général suivant (est-il vrai déjà ?).
Si $(X,T)$ est un espace topologique séparé, si $Y$ est un sous-espace dont la topologie trace de $T$ est la même que celle définie par une métrique $d$ sur $Y$ telle que $(Y,d)$ est complet, alors $Y$ est un fermé de $X$.

Je pense que ce résultat est vrai mais je ne parviens pas à en donner une preuve (j'ai commencé par choisir un filtre $F$ sur $X$ contenant $Y$ et convergeant vers $l\in X$ et j'aurais voulu prouver que le filtre trace sur $Y$ est de Cauchy pour conclure avec la complétude (comme on fait quand $X$ est métrique) mais je n'y arrive pas).
En espérant que ça intéresse certains

Réponses

  • Bah voilà ! Je pouvais chercher une démo longtemps !

    Merci, c'est imparable.
  • Bonsoir,
    En fait, il y a toujours un contre-exemple quand $Y$ est complet non compact car, si on appelle $X$ son compactifié de Stone-Cech, alors $Y \subsetneq X$ et $\overline{Y}=X$. En revanche, si $Y$ est compact, alors la propriété est toujours vraie.
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