convergence uniforme

tom2

Soit la suite de fonctions $f_n$ définies sur R par $f_n$(x) = racinecarrée($x^2+\frac{1}{n}$)

comment démontre t on que $f_n$ converge uniformément vers f(x) = | x|

babouin0

$\sqrt (x^2 + \frac{1}{n}) - \sqrt x^2 = \frac{\frac{1}{n}}{\sqrt (x^2 + \frac{1}{n}) - \sqrt x^2 }$
et on fait une minoration brutale du dénominateur.

babouin0

avec un + au dénominateur c'est mieux !

LIAUTARD1

Bonjour


la fonction rac(x) est uniformément continue sur tout compact [0,n]

donc la suite converge uniformément pour x² appartenant à ce compact

D'autre part rac(x²+1/n)-|x|<rac(x²+1)-|x|

et rac(x²+1)-|x| tend vers 0 quand |x| tend vers l'infini.


Cordialement

tom2

on minore comment le dénominateur?

babouin0

$\sqrt (x^2 + \frac{1}{n}) + \sqrt x^2 \geq \frac{1}{\sqrt n}$.
Ce qui donne une majoration uniforme du type $\frac{1}{\sqrt n}$.

Pitou

Je pense qu'on écrit $\sqrt{x^2+\frac{1}{n}}+|x| \geq \sqrt{\frac{1}{n}}$

Vianney

Soit la suite de fonctions $f_n$ définies sur $\R$ par $f_n(x) = \sqrt{x^2+\frac{1}{n}}$

comment démontre t on que $f_n$ converge uniformément vers $f(x) = |x|$ ?

Vianney

$$\sqrt{x^2 + \frac{1}{n}} - \sqrt{x^2} =\frac{1}{n} \frac{1}{\sqrt {x^2 + \frac{1}{n}} + \sqrt{x^2}}$$
et on fait une minoration brutale du dénominateur.

Vianney

$$\sqrt{x^2 + \frac{1}{n}} + \sqrt{x^2} \geq \frac{1}{\sqrt n}$$ Ce qui donne une majoration uniforme du type $\dfrac{1}{\sqrt n}$.