Propriétés polynômes d'Hermite

Kuja

Bonjour à tous,

j'ai cherché sans résultat jusqu'à présent, une formule générale pour l'intégrale

$$\int_{-\infty}^{+\infty} H_{\alpha_1}(x) H_{\alpha_2}(x) ... H_{\alpha_n}(x) e^{-x^2}dx$$

où $H_i(x)$ est le $i$-ième polynôme d'Hermite et où $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ sont des entiers.

Pour $n=2$ pas de souci, on utilise l'orthogonalité des polynômes, et pour $n=3$ la formule est dans Mathworld. Mais pour le cas général, j'ai essayé de généraliser "à la main" sans succès. J'ai regardé aussi dans le Abramowitz mais je n'y ai rien trouvé.

Si quelqu'un connaît ce résultat, d'avance merci.

Amicalement,

JJ0

Bonjour,

en effet, on trouve jusqu'à n=3.
Je n'ai jamais vu de formule pour n>3.
A partir des cas n=2 et n=3 (le cas n=1 étant trivial), je doute que l'on puisse "intuiter" une formule générale.
Quand à établir la formule pour n=4, c'est certainement possible en théorie. Mais bon courage pour cette entreprise ardue et de longue haleine... je ne m'y risque pas.

JJ0

On notera quand même que l'intégrale est nulle si la somme des alpha est impaire (évident, car dans ce cas le produit des polynômes est une fonction impaire)

Kuja

Bonsoir JJ,

merci pour ta réponse qui malheureusement ne m'enchante guère.
Ceci étant, il me faut absolument la formule (même le cas $n=4$ me satisferait). Je vais donc continuer mon travail laborieux.

Amicalement,

JJ0

Bonjour Kuja,

je suis bien conscient que ma réponse précédente n'était pas encourageante.
Ma réponse ne donnait pas d'explication sur les raisons de mon pessimisme.
Je n'ai pas beaucoup de temps car je suis en préparation de départ. Néanmoins, je souhaite donner quelques indications sur la réflexion sommaire qui m'a conduit à me faire une opinion sur la difficulté du problème. La page jointe en donne brièvement les grandes lignes :

Kuja

Merci beaucoup JJ pour le travail que tu as effectué. Je vais donc m'avouer vaincu face à ces satanés polynômes.

Amicalement,