Im A est un fermé de E

Bonsoir

On se place dans E un espace de Banach. A appartient à L(E). On suppose qu'il existe une constante c telle que norme(Ax)>=c*norme(x) pour tout x dans E. Il est demandé de montrer que Im A est un fermé de E.

Je considère donc une suite (yn)=(Axn) d'éléments de Im A telle que yn tend vers un certain l, le but étant de montrer que l appartient à Im A.
L'hypothèse sur A permet de voir qu'alors (xn) est une suite de Cauchy de E, donc, par complétude, que (xn) tend vers un certain x. Si A est continue, alors on peut immédiatement conclure.

Ma question : dans l'énoncé, dois-je comprendre que L(E) est l'ensemble des opérateurs linéaires continus ou alors il y a un moyen de conclure sans la continuité de A ?
Merci d'avance :)

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