intégrale double

fredghes0

Bonjour,

dans un corrigé d'exo sur les transformées de Laplace, une démo utilise l'égalité suivante soit disante triviale à démontrer:

$\int_{0}^{inf} ( $\int_{s}^{inf} f(s) g(t-s) e^-pt dt$ ) ds$

=

$\int_{0}^{inf} ( $\int_{0}^{t} f(s) g(t-s) ds$ ) e^-pt dt$


Mais comment cela se demontre t-il au juste?

Merci,

Fredghes

Kuja

Bonjour,\\
\\
dans un corrigé d'exo sur les transformées de Laplace, une démo utilise l'égalité suivante soit disante triviale à démontrer:\\
\\
$$\int_{0}^{+\infty} ( \int_{s}^{+\infty} f(s) g(t-s) e^{-pt} dt ) ds=\int_{0}^{+\infty} ( \int_{0}^{t} f(s) g(t-s) ds ) e^{-pt} dt$$
\\
\\
Mais comment cela se demontre t-il au juste?\\
\\
Merci,\\
\\
Fredghes

fredghes0

oui c mieux comme ca, merci Kuja!!

Evariste Galois2

Ce n'est pas dû au théorème de Fubini qui dit que l'on a le droit d'inverser les intégrales ?

JJ0

Bonjour,

avec Fubini et en définissant correctement les bornes d'intégration pour que le domaine soit le même : figure jointe

integ0

Bonjour

Joli J.J

J.J donne comment Fubini trouve les coupes de son domaine suivant s ou t


Mais il ne faut pas oublier de verifier les conditions du theoremes de fubini qui sont :(mesurabilités des fonctions )

1) $F(s,t) $positive

ou

2)$\int_{0}^{\infty} ( \int_{s}^{\infty} \vert f(s) g(t-s) e^{-pt} \vert dt ) ds

corentin0

Pour ceux qui n'ont pas franchement une vision géométrique des choses, il y a une alternative au dessin, on peut se contenter d'écrire l'intégrale avec une fonction indicarice :
<BR><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><TABLE CELLPADDING="0" ALIGN="CENTER" WIDTH="100%"><TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="RIGHT"><IMG WIDTH="234" HEIGHT="58" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/13/63133/cv/img1.png&quot; ALT="$\displaystyle \int_0^{+\infty} \int_s^{+\infty} f(s)g(t-s)e^{-pt}\,dt\,ds$"></TD><TD WIDTH="10" ALIGN="CENTER" NOWRAP><IMG WIDTH="15" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/13/63133/cv/img2.png&quot; ALT="$\displaystyle =$"></TD><TD ALIGN="LEFT" NOWRAP><IMG WIDTH="264" HEIGHT="58" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/13/63133/cv/img3.png&quot; ALT="$\displaystyle \int_0^{+\infty} \int_0^{+\infty} f(s)g(t-s)e^{-pt}{\bf 1}_{t>s}\,dt\,ds$"></TD><TD CLASS="eqno" WIDTH=10 ALIGN="RIGHT"> </TD></TR><TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="RIGHT"> </TD><TD WIDTH="10" ALIGN="CENTER" NOWRAP><IMG WIDTH="15" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/13/63133/cv/img2.png&quot; ALT="$\displaystyle =$"></TD><TD ALIGN="LEFT" NOWRAP><IMG WIDTH="264" HEIGHT="58" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/13/63133/cv/img4.png&quot; ALT="$\displaystyle \int_0^{+\infty} \int_0^{+\infty} f(s)g(t-s)e^{-pt}{\bf 1}_{s<t}\,ds\,dt$"></TD><TD CLASS="eqno" WIDTH=10 ALIGN="RIGHT"> </TD></TR><TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="RIGHT"> </TD><TD WIDTH="10" ALIGN="CENTER" NOWRAP><IMG WIDTH="15" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/13/63133/cv/img2.png&quot; ALT="$\displaystyle =$"></TD><TD ALIGN="LEFT" NOWRAP><IMG WIDTH="216" HEIGHT="58" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/13/63133/cv/img5.png&quot; ALT="$\displaystyle \int_0^{+\infty} \int_0^t f(s)g(t-s)e^{-pt}\,ds\,dt$"></TD><TD CLASS="eqno" WIDTH=10 ALIGN="RIGHT"> </TD></TR></TABLE></DIV><BR CLEAR="ALL">

integ0

Pour plus de precisions pour l'alternatif de corentin

on peut voir les choses comme ca

$$1_{\{(s,t)\in \R_+ ^2: s

Alain Debreil

<SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="508" HEIGHT="71" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/12/63109/cv/img1.png&quot; ALT="\begin{displaymath}\begin{array}{lll}
\newline \int_0 ^{+\infty}\int_s ^{+\infty......\infty}\int_0 ^{t} f(s)g(t-s)e^{-pt}ds\,dt
\newline \end{array}\end{displaymath}"></SPAN><BR>

Vianney

Bonjour,

dans un corrigé d'exo sur les transformées de Laplace, une démo utilise l'égalité suivante soit disante triviale à démontrer : $$\int_0^{+\infty} \left( \int_s^{+\infty} f(s) g(t-s) e^{-pt}\, dt \right) ds = \int_0^{+\infty} \left( \int_0^t f(s) g(t-s)\, ds \right) e^{-pt}\, dt$$ Merci,

Fredghes


[Merci Kuja pour la correction du LaTeX. AD]

Vianney

Bonjour

Joli J.J

J.J donne comment Fubini trouve les coupes de son domaine suivant $s$ ou $t$


Mais il ne faut pas oublier de verifier les conditions du theoremes de fubini qui sont : (mesurabilités des fonctions )

1) $F(s,t)$ positive

ou

2) $\displaystyle \int_0^{\infty} \left( \int_s^{\infty} | f(s) g(t-s) e^{-pt}|\, dt \right)\, ds

Vianney

Pour ceux qui n'ont pas franchement une vision géométrique des choses, il y a une alternative au dessin, on peut se contenter d'écrire l'intégrale avec une fonction indicarice :
<BR><BR><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><TABLE CELLPADDING="0" ALIGN="CENTER" WIDTH="100%"><TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="RIGHT"><IMG WIDTH="234" HEIGHT="58" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/13/63133/cv/img1.png&quot; ALT="$\displaystyle \int_0^{+\infty} \int_s^{+\infty} f(s)g(t-s)e^{-pt}\,dt\,ds$"></TD><TD WIDTH="10" ALIGN="CENTER" NOWRAP><IMG WIDTH="15" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/13/63133/cv/img2.png&quot; ALT="$\displaystyle =$"></TD><TD ALIGN="LEFT" NOWRAP><IMG WIDTH="264" HEIGHT="58" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/13/63133/cv/img3.png&quot; ALT="$\displaystyle \int_0^{+\infty} \int_0^{+\infty} f(s)g(t-s)e^{-pt}{\bf 1}_{t>s}\,dt\,ds$"></TD><TD CLASS="eqno" WIDTH=10 ALIGN="RIGHT"> </TD></TR><TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="RIGHT"> </TD><TD WIDTH="10" ALIGN="CENTER" NOWRAP><IMG WIDTH="15" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/13/63133/cv/img2.png&quot; ALT="$\displaystyle =$"></TD><TD ALIGN="LEFT" NOWRAP><IMG WIDTH="264" HEIGHT="58" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/13/63133/cv/img4.png&quot; ALT="$\displaystyle \int_0^{+\infty} \int_0^{+\infty} f(s)g(t-s)e^{-pt}{\bf 1}_{s<t}\,ds\,dt$"></TD><TD CLASS="eqno" WIDTH=10 ALIGN="RIGHT"> </TD></TR><TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="RIGHT"> </TD><TD WIDTH="10" ALIGN="CENTER" NOWRAP><IMG WIDTH="15" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/13/63133/cv/img2.png&quot; ALT="$\displaystyle =$"></TD><TD ALIGN="LEFT" NOWRAP><IMG WIDTH="216" HEIGHT="58" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/13/63133/cv/img5.png&quot; ALT="$\displaystyle \int_0^{+\infty} \int_0^t f(s)g(t-s)e^{-pt}\,ds\,dt$"></TD><TD CLASS="eqno" WIDTH=10 ALIGN="RIGHT"> </TD></TR></TABLE></DIV><BR CLEAR="ALL"><BR>