une série

Bonjour

Que vaut la somme des inverses des entiers ne comportant pas de 9 dans leur écriture en base 10 ( et comment montre t on rigoureusement que cela converge)

Merci

Réponses

  • bonjour

    est on sûr qu'elle converge? je suis un peu dubitatif

    j'attends une démonstration de la convergence

    cordialement
  • Bonsoir

    exo classique..
    bien sur qu'elle converge.. et meme comme un serie géometrique
    indication :sommer par tranches de 10^p à 10^(p+1)-1
    la somme des termes dans cette tranche est majorée par 9^p/10^p
    c'est fini..

    Oump.
  • oui la démo est élémentaire , une idée quant à la valeur de la somme ?
  • pas simple.. meme dans le cas simple ou on
    change l'exo en travaillant en base 2 et en gardant les termes
    n'utilisant pas de 0..
    on a la somme de la serie de terme general 1/(2^p-1)..

    Oump.
  • C est un peu ce que je pensais pas d expression explicite à priori....
  • bonjour

    est-on d'accord pour dire que c'est l'écriture des entiers qui ne comporte pas de 9 en base 10 ?

    dans ce cas j'avoue ne pas comprendre la majoration proposée par Oumpapah par tranche d'entiers compris entre 10^p et 10^(p+1) - 1

    deux remarques:

    par tranches d'entiers ainsi définies la quantité de nombres comportant un 9 est très proche de 20% (d'une façon régulière)

    or la somme des inverses des entiers compris entre 10^p et 10^(p+1) - 1
    est très proche (lorsque p augmente) de ln(10)=2,30
    en effet on connaît l'équivalent pour n grand: 1 + 1/2 + 1/3 +.....+ 1/n ~ln(n)

    et donc la somme des inverses des entiers privés de 9 par tranches de nombres de 10^p à 10^(p+1) - 1 est proche de 2 d'une façon régulière (et certainement pas inférieure à 1)

    et donc la série diverge comme je l'avais suggéré

    cordialement
  • en fait, il suffit de compter le nombre de nombres entre 10^p et 10^(p+1) ne comportant pas de 9.
    Ces chiffres comportant p+1 nombres, on en a donc 8*9^p (le premier chiffre ne pouvant être 0 !) . Chacun de ces nombres étant supérieur à 10^p, la somme des inverse est inférieure à 8*(9/10)^p et on retrouve bien le terme général d'une série géométrique ... (on vérifie au passage que le théorème de sommation par paquets s'applique mais dans ce cas, c'est évident)
  • Bonjour,

    pour Jean,

    je confirme la convergence ..il suffit de savoir compter les termes ne contenant pas se 9 dans une tranche et de majorer la somme de ces termes dans une tranche..
    ( un de mes ex eleves (brillant) avait eu cet exo a un oral d'ens en 1976..
    c'est devenu un "petit exo" de routine ,30 ans apres..)

    Oump
  • Voici, en version LaTeX, le raisonnement d'Oumpapah :

    Soit $l(n)$ le nombre de chiffres en base 10 de l'entier $n$ et $\mathcal{A}$ l'ensemble des entiers n'ayant pas de $9$ dans leur représentation décimale. Puisque, pour chaque entier $k \geqslant 1$ fixé, on a $$\sum_{n \in \mathcal{A} \, , \, l(n) = k} 1 = 8 \times 9^{k-1}, on en déduit : $$\sum_{n \in \mathcal{A}} \frac {1}{n} = \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n \in \mathcal{A} \, , \, l(n) = k} \frac {1}{n}
  • Voici, en version LaTeX, le raisonnement d'Oumpapah :

    Soit $l(n)$ le nombre de chiffres en base 10 de l'entier $n$ et $\mathcal{A}$ l'ensemble des entiers n'ayant pas de $9$ dans leur représentation décimale. Puisque, pour chaque entier $k \geqslant 1$ fixé, on a $$\sum_{n \in \mathcal{A} \, , \, l(n) = k} 1 = 8 \times 9^{k-1}$$, on en déduit : $$\sum_{n \in \mathcal{A}} \frac {1}{n} = \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n \in \mathcal{A} \, , \, l(n) = k} \frac {1}{n} \leqslant \sum_{k=1}^{\infty} \frac {1}{10^{k-1}} \sum_{n \in \mathcal{A} \, , \, l(n) = k} 1 = \sum_{k=1}^{\infty} \frac {8 \times 9^{k-1}}{10^{k-1}} = 80.$$

    Borde.
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