distance sur R barre

Rambo0

Bonjour,

Je me demande s'il est possible de munir Rbarre d'une distance.
Merci pour vos réponses

Bruno

Bonjour Rambo.

Peut être qu'on peut prolonger la fonction $\tanh$ à $\overline \R$ en posant~$\tanh(+\infty) = 1$ et $\tanh(-\infty) = -1$ et en posant:
$$\forall\,(a,b) \in \overline \R \quad d(a,b) = |\tanh(a) - \tanh(b)|$$

Bruno

LIAUTARD1

Bonjour


R barre est homéomorphe à [-1,1]

Il suffit donc de transporter par cet homéomorphisme la distance de R.

cordialement

babouin0

Oui, la distance discrete, qui vaut 1 si x=y et 0 sinon. Mais tu voulais peut etre dire une distance qui donne la topologie usuelle ...

Bruno

Bonjour

Bruno

Remarque : c'est strictement l'explicitation de l'idée de Liautard.

Bruno

LIAUTARD1

Bonjour

Je précise l'homéomorphisme

f(x)= 1/(1+|x|) est un homéomorphisme de R sur (-1,1) qui se prolonge en un homéomorphisme de R barre sur [-1,1]

La distance sur R barre est donc |f(x)-f(y)|

bien évidemment on peut trouver d'autres distances qui donne la topologie de R barre .;


Cordialement

Rambo0

ok, merci à tous pour vos réponses

bosio frederic0

C'est $\frac{x}{1+|x|}$ et non $\frac{1}{1+|x|}$.

Vianney

Bonjour Rambo.

Peut être qu'on peut prolonger la fonction $\tanh$ à $\overline{\R}$ en posant $\tanh(+\infty) = 1$ et $\tanh(-\infty) = -1$ et en posant : $$\forall\,(a,b) \in \overline{\R} \quad d(a,b) = |\tanh(a) - \tanh(b)|$$ Bruno

Vianney

C'est $\dfrac{x}{1+|x|}$ et non $\dfrac{1}{1+|x|}$

Pitou

Au passage, il est amusant de remarquer qu'avec cette distance $d$, $\R$ n'est pas complet (puisqu'il n'est pas fermé dans $\overline{\R}$, ou qu'il est isométrique à $]0,1[$), et pourtant la topologie induite par $d$ sur $\R$ est bien la topologie usuelle de $\R$... Qu'en déduire ? (question pour les apprentis topologues).