DSE de $\cos(x)\cosh(x)$

Bonjour
tous mes calculs figurent ci-joint
Je trouve : $$
\cos x \cosh x=\sum_{k\geq0}\dfrac{(-4x^4)^k}{(4k)!}.
$$ À la fin de l'image, vous pouvez voir des valeurs numériques obtenues avec Octave.
Question : Autant pour $x=1$ ce n'est pas très loin, autant pour $x=2$ c'est très très éloigné. Pourtant le rayon de convergence est infini. Alors pourquoi avec un $n$ aussi grand l'approche est-elle si fausse ? Le 200.000ème terme commence à être sacrément petit non ? Une erreur de ma part ?

Voici mon code.
function s=serie1(x,n)
fact=1;#valeur de (4k)!
u=1;#valeur du terme général
s=u;#valeur en k=1
for k=1:n
  u=-u*(x*sqrt(2))^4/(k*(k+1)*(k+2)*(k+3));
  s=s+u;
endfor
endfunction
92168

Réponses

  • Bonjour,

    En $2$ la valeur exacte est $-1,5656(3)$ alors que les valeurs données par la série sont $-1,6666(7)$ pour 2 termes; $-1,56560(8)$ pour trois termes et $-1,5656(3)$ pour 4 termes.

    Je ne sais pas lire le code. Es-tu sûr de la factorielle au dénominateur dans ce code $(4 k)! = (4k) (4 k-1)(4 k-2) \cdots (4) (3) (2) (1).$
  • autant pour moi c'était
    f=f*(4k)(4k-1)(4k-2)(4k-3)
    
    erreur de débutant
  • Avec Python, en sommant seulement 5 termes (de $k=0$ à $k = 4$), on a déjà une précision excellente.
    import numpy as np
    x = 2
    A = np.cos(x)*np.cosh(x)
    B = 0
    for k in range(5):
        B = B + (-4*x**4)**k/(np.math.factorial(4*k))
    print(A)
    print(B)
    
    retourne
    -1.5656258353157435
    -1.5656258348745118
    
  • Est-ce que tu as utilisé pour ton DSE $$ \cos x \cosh x=\frac{ \cosh(1+i)x + \cosh(1-i)x}4$$
  • Je crois que c'est ça la formule correcte à toi de la revérifier :
  • Je viens de retirer un $1/2$ de la formule.
  • Pardon, la formule est correct, je retire tout.
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