Partie fractionnaire , fonction zeta

Yalcin

Bonjour

Je viens de découvrir une jolie formule grâce aux essais numériques :

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\left\lceil {\root {m + 1} \of {\frac{n}{k}} } \right\rceil } = \frac{{m + 1}}{m} - \zeta (m + 1)}$

Et pour démontrer ce résultat il suffit de démontrer qu'on a :

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\left\lfloor {\root m \of {\frac{n}{k}} } \right\rfloor } = \zeta (m)}$ et que $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{\sqrt n }}\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{\root m \of k }}} = \frac{m}{{m - 1}}}$.

La plus dure entre ces 3 c'est la deuxième formule, comment se procéder ?

Merci pour vos réponses et vos idées.

Cordialement Yalcin

Cordialement Yalcin

Yalcin

On voit rien Vianney ?



[Yalcin : lis le message de Vianney. AD]
<http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=187712&t=187712&gt;

Alain Debreil

traduction Latex-->ps-->gif

JJ0

Bonjour Yalcin,

les formules semblent alléchantes, mais il y a quelque chose qui m'échappe.
En effet, j'ai testé numériquement les formules 1 et 2 et il me semble qu'elles ne sont pas exactes.
De plus, pour la formule 2, je trouve un équivalent (pour n tendant vers l'infini) égal à m/(m-1) au lieu de zeta(m).
Alors, n'y a-t-il pas un problème de notations ? ou autre chose que j'interprète mal dans la formulation ?

JJ0

Une autre anomalie :
dans le cas m=2, les formules 2 et 3 sont identiques, ce qui conduirait à
zeta(2) = 2/(2-1) = 2 , ce qui est faux. Donc au moins l'une de ces deux formules serait erronée dans le cas m=2.
Mais je suppose qu'il suffira d'une petite explication pour que tout s'éclaire!

Cédric

Une remarque naive de ma part : les termes de droites ressemblent beaucoup à des sommes de Darboux, et sont surement des sommes relativement faciles à calculer... en revanche les termes de droites sont on le sait bien assez difficilement calculable dans le cas général.
Bien évidemment il ne s'agit pas là d'une remarque fondée, mais une telle formule ne me semble donc pas "moralement acceptable"

Cédric

Hum à mieux y regarder les termes de gauches contiennent des parties entières (je devrais mieux lire les titres ...) par conséquent ils ne sont pas calculables si facilement ; en revanche on doit obtenir une majoration de la valeur de la fonction Zeta... je reste donc un peu sceptique

Yalcin

Pour la troisième , effectivement je me suis trompé, normalement j'aurai dû mettre $\displaystyle{n^{\frac{1}{m} - 1} \sum\limits_{k = 1}^n {k^{ - \frac{1}{m}} } = \frac{m}{{m - 1}}}$
Cette c'est bon.

Cordialement Yalcin

Yalcin

$$
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } n^{\frac{1}
{m} - 1} \sum\limits_{k = 1}^n {k^{ - \frac{1}
{m}} } = \frac{m}
{{m - 1}}
$$
pardon

Cordialement Yalcin

Yalcin

n'oubliez pas qu'il s'agit de la partie fractionnaire frac et de floor.

JJ0

Bon, cette fois, j'ai compris.
Les tests numériques sont encourageants (mais ils n'apportent qu'une présomption de validité)
Maintenant, je suis d'accord avec la formule 3 corrigée. Elle se démontre facilement en encadrant par deux intégrales qui tendent vers la même limite.
Pour étudier les formules 1 et 2 , la même méthode d'encadrement se heurte à une difficulté majeure qui est la présence de fonctions frac ou floor.
Il est possible de passer à une forme d'expression ne contenant pas ces fonctions, grâce au développement en série de Fourier. Par exemple, pour la formule 2 on aurait : (page jointe)
Ceci n'est qu'une idée à explorer. Il n'est pas évident que le problème en soit simplifié.

JJ0

Zut et zut, j'ai interverti différents documents, si bien que le précédent envoyé n'est pas le bon.
Ce serait bien s'il pouvait être remplacé par le suivant :

JJ0

Décidément je suis distrait ce matin...
Désolé, mais il y a encore des erreurs (dans la typographie des crochets)
Si ce n'est pas abuser et j'espère que celle-ci la bonne :

JJ0

Le sort s'acharne !!! Encore un mélange de copier-coller entre formules.
Si ce n'est pas bon cette fois, j'efface tout et j'abandonne.
De toute façon, on aura compris le principe que je proposais
Version corrigée :

JJ0

Re-bonjour,

tout d'abord, je remercie qui de droit pour les corrections apportées au document joint qui apparait maintenant correct dans mon message précédent ( et qui portait sur la formule N°2).
[merci de tes remerciements AD]

Cette nouvelle intervention n'est pas pour une correction (heureusement).
Il s'agit de la formule N°1 dans la page jointe :

Yalcin

la 3ème est facile à démontrer,mais la 2ème est un peu dure.
Et comme tu vois j'espère avec 2 et 3 on obtient facilement la formule 1.

Yalcin

JJ j'ai posté aussi ma petite découverte numérique sur un autre forum que tu connais peut être <http://forum.maths-express.net/detail.php?forumid=2&id=18248&page=1&p=1&gt; message "10/07/2005 15:07" posté par Henri
Là bas, on peut utiliser la méthode donnée par Henri je crois (il donne une méthode pour m=2)
Mais je n'ai pas très bien compris sa méthode (je pense que c'est dû au latex et au manque de détail qu'il a fait)
Voilà

Yalcin

c'ets le message "10/07/2005 15:07" posté par henri

Vianney

Bonjour

Je viens de découvrir une jolie formule grâce aux essais numériques : $$\lim_{n \to + \infty } \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^n {\left\lceil \sqrt[m+1]{\frac{n}{k}}\, \right\rceil } = \frac{m + 1}{m} - \zeta (m + 1)$$ Et pour démontrer ce résultat il suffit de démontrer qu'on a : $$ \lim_{n \to + \infty } \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^n {\left\lfloor \sqrt[m]{\frac{n}{k}} \right\rfloor } = \zeta (m) \quad\hbox{et que}\quad \lim_{n \to + \infty } \frac{1}{\sqrt n}\sum_{k = 1}^n \frac{1}{\sqrt[m]{k}} = \frac{m}{m - 1}$$ La plus dure entre ces 3 c'est la deuxième formule, comment procéder ?

Merci pour vos réponses et vos idées.

Cordialement Yalcin

Vianney

Pour la troisième , effectivement je me suis trompé, normalement j'aurai dû mettre $$\lim_{n \to + \infty } n^{\frac{1}{m} - 1} \sum_{k = 1}^n k^{ - \frac{1}{m}} = \frac{m} {m - 1}$$ Cette fois c'est bon.

Cédric

Si c'est pas indiscret Yalcin, d'où t'es venue cette formule, pas franchement intuitive de mon point de vue naif ?

Yalcin

En fait au début je m'amusais comme d'hab sur paris gp , et là j'ai mis f(n)=sum(k=1,n,frac(sqrt(n/k))) (c'est à dire <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="127" HEIGHT="51" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/14/63179/cv/img1.png&quot; ALT="$ f(n)=\sum\limits_{k=1}^n \left\lceil\sqrt{\frac{n}{k}}\,\right\rceil$"></SPAN>)
<BR>j'ai vu que cette somme convergeait rapidement, du coup j'ai voulu chercher la valeur exacte et j'ai trouvé c'est je crois <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="59" HEIGHT="56" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/14/63182/cv/img1.png&quot; ALT="$ \dfrac{12-\pi^2}{6}$"></SPAN> (j'ai pas la démo)
<BR>Mais j'ai voulu aller plus loin, du coup j'ai mis puissance <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="17" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/14/63179/cv/img3.png&quot; ALT="$ m$"></SPAN> et j'ai remarqué qu'il y avait du <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="38" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/14/63179/cv/img4.png&quot; ALT="$ \zeta(m)$"></SPAN> et du <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="48" HEIGHT="44" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/14/63182/cv/img2.png&quot; ALT="$ \dfrac{m}{m-1}$"></SPAN>
<BR>
<BR>Voilà
<BR>Si on la démontre je mettrais mon nom et celui qui démontrera.
<BR>du genre : trouvée numériquement par Yalcin et démontrée par .........<BR>

Alain Debreil

En fait au début je m'amusais comme d'hab sur paris gp , et là j'ai mis f(n)=sum(k=1,n,frac(sqrt(n/k))) (c'est à dire $f(n)=\sum\limits_{k=1}^n \lceil\sqrt{\frac{n}{k}}\rceil$)
j'ai vu que cette somme convergeait rapidement, du coup j'ai voulu chercher la valeur exacte et j'ai trouvé c'est je crois $\frac{12-pi²}{6}$ (j'ai pas la démo)
Mais j'ai voulu aller plus loin, du coup j'ai mis puissance $m$ et j'ai remarqué qu'il y avait du $\zeta(m)$ et du $\frac{m}{m-1}$
Voilà
Si on la démontre je mettrais mon nom et celui qui démontrera.
du genre : trouvée numériquement par Yalcin et démontrée par .........

[%sig%]

Alain Debreil

En fait au début je m'amusais comme d'hab sur paris gp , et là j'ai mis f(n)=sum(k=1,n,frac(sqrt(n/k))) (c'est à dire $f(n)=\sum\limits_{k=1}^n \left\lceil\sqrt{\frac{n}{k}}\,\right\rceil$)
j'ai vu que cette somme convergeait rapidement, du coup j'ai voulu chercher la valeur exacte et j'ai trouvé c'est je crois $\frac{12-pi²}{6}$ (j'ai pas la démo)
Mais j'ai voulu aller plus loin, du coup j'ai mis puissance $m$ et j'ai remarqué qu'il y avait du $\zeta(m)$ et du $\frac{m}{m-1}$
Voilà
Si on la démontre je mettrais mon nom et celui qui démontrera.
du genre : trouvée numériquement par Yalcin et démontrée par .........

[%sig%]

Vianney

$\dfrac{12-\pi^2}{6}$ $\dfrac{m}{m-1}$

Attioui Abdelbaki

Bonjour,

On a :
$$\lim_{n\longrightarrow +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n \left(\frac{n}{k}\right)^{\frac{1}{m}} = \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\frac{1}{m}}} dx $$

$$ \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{x^{\frac{1}{m}}} dx= \frac{m}{m - 1} $$
A+

Attioui Abdelbaki

Bonjour,

On a :
$$\lim_{n\longrightarrow +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n \left(\frac{n}{k}\right)^{\frac{1}{m}} = \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\frac{1}{m}}} dx $$

$$ \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\frac{1}{m}}} dx= \frac{m}{m - 1} $$
A+

Attioui Abdelbaki

Bonjour,

On a :
$$\lim_{n\longrightarrow +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n \left(\frac{n}{k}\right)^{\frac{1}{m}} = \int_{0}^{1} \frac{dx }{x^{\frac{1}{m}}} $$

$$ \int_{0}^{1} \left( \frac{dx}{x^{\frac{1}{m}}} = \frac{m}{m - 1} $$
A+

Attioui Abdelbaki

Bonjour,\\
\\
On a \
$$\lim_{n\longrightarrow +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n \left(\frac{n}{k}\right)^{\frac{1}{m}} = \int_{0}^{1} \frac{dx }{x^{\frac{1}{m}}} $$\\
\\
$$ \int_{0}^{1} \frac{dx}{x^{\frac{1}{m}}} = \frac{m}{m - 1} $$\\
A+

Yalcin

Bonjour Attioui Abdelbaki
Je savais démontrer que cette somme vallait m/(m-1)
Mais un grand merci quand même.

JJ0

Bonjour,

à quelques jours de partir en vacances, je jettais un dernier coup d'oeil sur les récents sujets abordés içi et je suis revenu à ces formules que Yalcin à trouvées par une approche de calcul numérique.
Les formules restent actuellement non prouvées dans leur généralité.
J'avais déjà attiré l'attention sur une incohérence qui a été levée par la suite.
Mais je crois qu'il y a, à la base, une incohérence plus profonde. La page jointe la met en lumière.
Mais peut-être que quelque chose m'échappe dans les formulations proposées ?

JJ0

En complément à mon message dubitatif précédent, voici un résultat qui semble intéressant :
En poursuivant la méthode par série de Fourier dont j'ai déjà donné les formules, on arrive à la relation (page jointe).
L'intérêt de cette formule est de ne pas contenir de fonction du genre (frac) ou (partie entière). Elle semble donc plus sympatique pour aller plus loin dans une approche analytique.
Je dis tout de suite que j'en suis resté là, à peu de chose près.
Mais il me semble que cette nouvelle relation ne conduise pas exactement à la fonction zeta(m) tel qu'il était attendu. Ceci n'est pas démontré, ce n'est qu'une première impression.
Néanmoins, je serais curieux de savoir si cela se confirme (ou non). Peut-être trouverai-je la réponse à mon retour ...

JJ0

Excusez-moi, j'ai encore fait une confusion de lecture dans les notations des formules avec les crochets ouverts soit en haut, soit en bas. Si bien que mon messane du 07-15-05 09:42 est absurde.
il serait préférable que tous mes messages d'aujourd'hui soient effacés.
Merci par avance.
(je réécrirais ensuite un nouveau message pour donner plus correctement mes derniers résultats)

JJ0

Bonjour,

avant de partir en vacances (ouf, j'en ai vraiment besoin...), je tiens à expliquer un peu mieux la démarche dont j'ai fait allusion dans des messages précédents.
Il est clair que les formules intéressantes proposées par Yalcin n'ont, actuellent, qu'une présomption de validité, par référence à des calculs numériques, ce qui ne constitue pas une preuve.
L'établissement d'une preuve par une démarche analytique s'avère ardue. En effet, les formules présentent, entre autres, deux difficultés :
- il s'agit de limites
- elles comportent des fonctions discontinues (telle que frac).
Dans le papier joint, on montre comment éliminer ces deux difficultés, de telle sorte que la formule obtenue donne littéralement la limite et ne contienne plus que des fonctions continues.
Néanmoins, à ce stade, la formule obtenue n'est pas simple. Elle ne donne pas la réponse à la question posée. Il reste certainement beaucoup à faire. Mais on peut espérer que la suite de l'étude analytique sera plus abordable sous cette forme que sous la forme initiale. (document joint)

Yalcin

je vais mettre comme nom : Formule de Aktar- X
où X celui qui démontrera ma formule trouvée numériquement.
c possible ?

Cédric

Yalcin, je suis tout prêt à croire en ta formule, mais j'avoue que les tests numériques que j'ai effectués me laissent perplexe (je n'ai pas eu énormément de temps).
Arrives-tu à avoir une précision arbitraire en prenant un n suffisamment grand ? (genre 10^(20))

En fait je me demandais, mais ce n'est qu'une interrogation, est-ce que le fait que Zeta(x) - 1 converge "rapidement" vers 0 ne t'as pas conduit à une formule du genre un terme à gauche qui tend vers 1, et la fonction Zeta à coté...

Je le répète je ne remet pas du tout en doute cette formule, en fait j'ai simplement du mal à repérer quelle est "la formule" puisqu'il y a quelques modifications qui ont été effectuées, peux-tu s'il te plait nous redonner la formule "finale", quitte à ce que l'on fasse quelque tests...

@+

PS: Yalcin ne prend pas mal mes doutes, c'est simplement le fait de trouver une telle formule au hasard qui me parait un peu aléatoire comme méthode scientifique

Viktor

It seems that's simpler. Let <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="40" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/17/63349/cv/img1.png&quot; ALT="$ s>1$"></SPAN> and let <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="10" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/17/63349/cv/img2.png&quot; ALT="$ j$"></SPAN> be an integer ranging from 1 up to <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="13" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/17/63349/cv/img3.png&quot; ALT="$ n$"></SPAN>, then :
<BR>
<BR><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="251" HEIGHT="45" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/17/63349/cv/img4.png&quot; ALT="$ \left\lfloor \left(\frac{n}{k}\right)^{1/s} \right\rfloor = j \ \mathrm{iff}\ j\leq \left(\frac{n}{k}\right)^{1/s}<j+1$"></SPAN>
<BR>
<BR>or equivalently <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="182" HEIGHT="34" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/17/63349/cv/img5.png&quot; ALT="$ \mathrm{iff}\ n(j+1)^{-s}<k\leq nj^{-s}$"></SPAN>
<BR>
<BR>Thus : <P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="437" HEIGHT="61" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/17/63349/cv/img6.png&quot; ALT="$\displaystyle \newline S(n)=\sum_{k=1}^n \left\lfloor (n/k)^{1/s} \right\rfloor......_k j \quad \mathrm{where}\ {\frac{n}{(j+1)^s} < k \leq \frac{n}{j^s}}
\newline $"></DIV><P></P>but as <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="13" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/17/63349/cv/img3.png&quot; ALT="$ n$"></SPAN> grows it is equivalent to : <P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="176" HEIGHT="61" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/17/63349/cv/img7.png&quot; ALT="$\displaystyle \newline \sum_{j=1}^n j n \left(j^{-s}- (j+1)^{-s}\right)
\newline $"></DIV><P></P>Thus as <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="53" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/17/63349/cv/img8.png&quot; ALT="$ n \to \infty$"></SPAN> : <P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="225" HEIGHT="61" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/17/63349/cv/img9.png&quot; ALT="$\displaystyle \newline \frac{S(n)}{n} \to \sum_{j=1}^\infty j \left(j^{-s}- (j+1)^{-s} \right)
\newline $"></DIV><P></P>and it is easy to show this later sum converges to <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="31" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/17/63349/cv/img10.png&quot; ALT="$ \zeta(s)$"></SPAN>
<BR>
<BR>
<BR>[formule corrigée selon tes indications. AD]<BR>

Yalcin

Voici la reformulation de ma formule trouvée numériquement par intuition :

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\root {m + 1} \of {\frac{n}{k}} - E\left( {\root {m + 1} \of {\frac{n}{k}} } \right)} \right)} - \frac{{m + 1}}{m} + \zeta (m + 1) = 0}$

Cordialement Yalcin

Cordialement Yalcin

Viktor

Sorry there was an extra "sum" here :

S(n)=sum_{k=1,n} floor((n/k)^(1/s))
=
sum_{j=1,n}sum_{sum(n*(j+1)^(-s)<k<=n*j^(-s)}j

that's :

S(n)=sum_{k=1,n} floor((n/k)^(1/s))
=
sum_{j=1,n}sum_{n/(j+1)^s<k<=n/j^s}j

Cédric

S(n)=sum_{k=1,n} floor((n/k)^(1/s))
=
sum_{j=1,n}sum_{sum(n*(j+1)^(-s)<k<=n*j^(-s)}j

Désolé d'être lourd mais je ne comprend pas ce passage... quelqu'un peu éclairer ma lanterne?

Cédric

...merci pour la correction je relis

Yalcin

quelqu'un peut traduire la réponse de Viktor en français et en latex ?

Cédric

Effectivement la démonstration semble bonne après relecture...

J'ai pour le moment regardé le cas m = 2 avec n = 10000
on trouve -.1901e-3 avec Maple.

On remarque cependant que Zeta(2) - Sum{k=1..10000} 1/k² donne .99996e-4

Yalcin, par curiosité, tu es resté longtemps devant ton Pc pour trouver cette formule en cherchant au "hasard"?

Yalcin

non juste 3 minutes avec paris gp
j'ai aussi trouvée $\dispalystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\left\lfloor {10\left\lceil {\sqrt k } \right\rceil } \right\rfloor } = \frac{9}{2}}$
Comment démontrer cette formule ?

Cordialement Yalcin

Cédric

Bon après d'autres tests, jusqu'a n=50000 (Maple n'a pas franchement donné un résultat immédiatement ..)
On trouve une erreur de 3e-5 alors que le calcul direct de la somme donnerait 2e-5...

En résumé la formule semble être correcte, et "converger linéairement" (ça se dit ?). Désolé Yalcin d'avoir émis des doutes, je dois reconnaître que tu avais raison. bravo !

Alain Debreil

It seems that's simpler. Let $s>1$ and let $j$ be an integer ranging from 1 up to $n$, then :

$\left\lfloor \left(\frac{n}{k}\right)^{1/s} \right\rfloor = j \ \mathrm{iff}\ j\leq \left(\frac{n}{k}\right)^{1/s}

Viktor

Ohoh. I just see at Yalcin's link :

<http://forum.maths-express.net/detail.php?forumid=2&id=18248&page=1&p=1&gt;

that the guy named "tutu" gave the right answer in exactly the same way shorter after the question was posted (the generalization to the case m>2 is self-evident). Please read answers more carefully. Specially when the answers concern your own request.