Petit exo d'arithmétique sympa

Reï-Vi-Lhô

<!--latex-->Bonjour à tous,
<BR>
<BR>Pour ceux que cela intéresse, voici un petit exo d'arithmétique sympa (et pas trop dur), tiré de l'excellent "250 problèmes de théorie élémentaire des nombres" de Waclaw Sierpinski :
<BR>
<BR><I>Montrer qu'il existe une infinité d'entiers n tels que n divise 2^n+1.</I>
<BR>
<BR>Bonne chance !
<BR>
<BR>Amicalement.
<BR>Olivier.<BR>

jaybe

J'ai déjà une suite géométrique. Est-il possible de les trouver tous ?

Viktor

Yes there is a way to get the whole set of solutions.

Vassia Pupkin

Et même mieux héhéhé .... est-il possible d'avoir le pgcd de n et de (2^n)+1 en fonction de n ?

Viktor

More precisely :

Let the collection C_0={3,3^2,3^3,...}=powers_of_­three.
For each n in C_j, define S_n={n*p^r: p|2^n+1, r=1,2,3,...}.
Define C_(j+1)=UNION[S_n: n in C_j] .
Define S=UNION[C_j].

Then S is the set of solutions, n, with n|2^n+1.

fb0

Un problème analogue : montrer qu'il existe une infinité d'entiers n tels que n^3 divise 2^{n^2}+1.

Exemple : 27 divise 513.