Norme Lp et Intégration.

FJ0

Bonjour,
Voici un exo ... "un inférieur à p inférieur strictement à l'oo, et (fn)n une suite de fonctions de Lp([a,b],µ) qui converge µ p.p. vers f sur [a,b].
On suppose 1<p, et ||fn||p<=C. MQ pour tout g appartenant à Lq([a,b],µ), avec 1/p+1/q=1, lim (n tend vers + oo) int ([a,b]) (fn*g) = int ([a,b]) (f*g)".
J'ai essayé de supposer que µ([a,b]) fini, en utilisant Egorov, mais ça ne marche malheureusement pas ... sans rajouter d'hypothèses, j'ai essayé de majorer avec Holder mais ça n'aboutit pas non plus car je ne sais rien sur la norme p de (fn-f) ! Je sais par contre que f est dans Lp([a,b],µ) via le lemme de Fatou ! Et même ||f||p inf ou égal à C !! Malheureusement ça n'a pas suffi ...
Voili voilou, si vous avez des idées ...
Merci à vous et dsl pour l'absence de Latex !
François.

bosio frederic0

C'est fait normalement dans tout cours sur la dualite dans les $L^p $, regarde (par exemple) dans le Rudin d'Analyse reelle et complexe.

FJ0

Bonjour,
Oui mais à quel endroit s'il vous plait ? Parce que je viens de regarder dans le chapitre sur les espaces Lp et je ne vois rien qui puisse m'éclairer ...
Merci beaucoup !
François.
PS : En fait je cherche une indication pour trouver l'exo, je l'ai déjà beaucoup cherché ... avoir le corrigé ça ne me sert à rien !

kara1

On a fn*g =\int fn(x-y)g(y) dy
L'inégalité de Hölder donne |fg|_1<=|f|_p|g|_q donc d'après Lebesgue on peut permuter intégrale et la limite d'où le résultat.

FJ0

Arf attention il n'y a pas de convolution dans cet exo !!!!
Le fn*g désigne simplement fn.g !!!!!!!!
Aie aie je suis désolé ... vous avez une idée sans la convolution ????
Merci à vous !
François.

kara1

Je pense que ça marche pareil c-à-d
L'inégalité de Hölder donne |fn.g|_1<= |fn|_p|g|_q <= C|g|_q , et donc d'après Lebesgue on peut permuter intégrale et la limite d'où le résultat.

bosio frederic0

Pardon, je me suis trompe. C'est plus complique que je croyais et je pense qu'on ne peut pas appliquer Lebesgue car la convergence n'est pas dominee (aucune fonction ne domine toute la suite f_n ). D'ailleurs, le resultat est faux pour p=1.

Je pense qu'il s'agit plutot de demontrer une convegence faible dans L^p vu comme le dual de L^q . Pour cela, le theoreme de Banach-Alaoglu affirme que (f_n ) possede une valeur d'adherence faible et il faut juste voir qu'on ne peut en avoir aucune autre que la limite de la suite (f_n ).

garfieldalest

Comme $f_n$ est bornee dans $L_p$, elle converge faiblement, via une sous-suite vers $h$, donc pour cette sous-suite, $\int f_ng$ converge vers $\int hg$. Le tout est de montrer que $h=f$, c'est a dire que la limite faible et la limite p.p sont les memes. Ca doit etre evident, mais je vois pas quoi invoque comme argument "evident".
Mais si on construit une nouvelle suite $f_n^k$ qui est la troncature de $f_n$ par $k$ et $-k$, on voit que $f_n^k$ converge fortement vers $f^k$ dans $L_q$. Donc j'ai $\int f_n f^k_n$ qui converge vers $\int h f^k$. D'ou $h=f$ sur $\{|f(x)|\leq k\}$. Commme c'est vrai pour tout $k$ on a $f=h$. Et comme pour toute sous-suite on obtient la meme limite, toute la suite converge.
Bon mais il doit y avoir plus simple

corentin0

Mais comment voit on que f_n est bornée dans L^p? Justement, le problème c'est que on ne sait pas si mu([a,b]) est fini ou non.
Par contre au niveau de l'idée je suis d'accord avec toi, il est certain vu les hypothèses que ça se passe au niveau de la convergence faible et de la réflexivité de L^p.

garfieldalest

C'est pas une hypothese que $\|f_n\|\leq C$ ?
Bon mais j'ai un autre probleme c'est mon integrale $\int f_n^k f_n$ qui ne converge pas vers $\int ff$. Il faut que je revoie

corentin0

Tu as raison, j'avais mal lu l'énoncé. ||f||_p<C s'était transformé chez moi en |f|<C.
Bon, il doit bien y avoir moyen de conclure, parce que la convergence faible implique la convergence presque partout non?
Donc toute sous suite qu'on va extraire converge en fait faiblement vers g, lim f-n=g pp et lim f_n=f pp donc f=g pp. Ce qui est encourageant.

kara1

reponse:
fn borne dans L^p donc fn converge vers h faiblement dans L^p(reflexivité)
donc $\int f_n*g$ converge vers $\int h*g$ dans $R$ pout tout $ h \in L^q.$ mnt montrons que $h=f$?
par le lemme de fatou on a
$\int (f-h)*g =\int lim (f_n-h)*g

corentin0

Il y a un argument qui doit m'échapper; la réflexivité nous donne seulement une sous suite, pas toute la suite.

Vianney

reponse:
$f_n$ borne dans $L^p$ donc $f_n$ converge vers $h$ faiblement dans $L^p$ (reflexivité)
donc $\int f_n*g$ converge vers $\int h*g$ dans $\R$ pout tout $ h \in L^q$. mnt montrons que $h=f$ :
par le lemme de fatou on a $$\int (f-h)*g =\int \lim (f_n-h)*g \leq \lim \int (f_n-h)*g=0$$ pour tout $g\in L^q$ donc $f=h$ p.p dans $\Omega$

Thibaut6

Même si c'est seulement une sous-suite qui converge faiblement, le raisonnement de kara reste valable !

Mais où tu as la tête Corentin ??

PS : alors ce stage ?

corentin0

Ah tiens, salut Thibaut (dis moi, si tu postes à 6h58 en France tu dois avoir de drôles d'horaire...)
Ben... le raisonnement de Kara est correct, mais pour moi il ne s'applique qu'à une sous suite. Ouais bof, peut être qu'il y a un truc à dire genre si toute sous suite convergente a la même limite la suite converge mais chuis pas convaincu.
Mon stage ça va, c'est un peu compliqué (rectification; beaucoup, si on me pose des questions sur la moitié des trucs que j'utilise je crois que ça va se voir que j'y connais rien) mais c'est vachement intéressant. ET puis ça m'a forcé à installer Latex, ce qui n'a pas été une mince affaire.
Ah, au fait je suis en train de finir mon inscription pour le DEA d'analyse numérique. T'avais raison, Morel fait des sacrées lettres de recommandations!
Et toi, ça se passe bien avec ta "team of elite students"?
Et Bruno?

Thibaut6

Mais avoir seulement une sous-suite qui converge suffit pour donner le résultat !

Moi j'ai été accepté au DEA ; ça se passe pas mal en Californie, même si je fais moins de maths que je voudrais et plus de Matlab. Mais ça devrait changer dans quelques temps. Pareil pour Bruno.

corentin0

Meuuhh?? Y a des fois où je me fais peur... La question c'est bien montrer qu'il y a une limite et que cette limite c'est f? Là on a seulement montré que la limite si elle existe est f. Mais qu'est ce qui nous dit qu'il y a une limite? Je sais pas moi, il faudrait rajouter un argument genre si la suite converge pas, on extrait les termes qui convergent pas et pan, on réextrait une sous suite d'où absurde.
Au sujet du DEA, comment tu fait pour savoir que t'es pris?
De toute façon moi je suis en train de faire un blocage sur la lettre de motivation, ça me fatigue de l'écrire.
Et accessoirement, pour les 5000 bulletins de notes qu'ils demandent, je suppose que tu as pipeauté un truc genre "non mais chuis désolé, mais là ça va pas être possible"?

Thibaut6

Pour savoir que t'es pris au DEA, il faut déjà envoyer ton dossier, attendre quelques jours et consulter tes e-mails...
Pour les bulletins de notes, j'ai donné ceux de prépas et le relevé des notes de licence (disponible au secrétariat), et j'ai dit que pour les notes de maitrise ça attendrait...

Pour l'exo, je crois que t'as raison, c'est montré seulement pour une sous-suite, mais... c'est déjà pas mal ! J'ai pas le temps de m'y pencher mais je suis sûr que tu vas trouver ça !

garfieldalest

Ne suffit-il pas de supposer une sous-suite pour laquelle ça ne marche pas, ainsi de cette sous-suite j'extrais une sous-sous-suite qui elle converge faiblement et donc la limite de l'intégrale pour cette sous-sous-suite est celle recherchée. Ce qui montre par l'absurde que ma première sous-suite n'existe pas.