convergence d'une suite

Laplacien

Bonjour,

On considère la suite de fonction Pn = Sum(k=0,n) X^k / k!
je voudrais savoir dans quel espace et pour quelle norme, on peut dire que Pn converge vers l'exponentielle.
Merci

shadow1

dans un Banach cela fonctionne, puisque convergence absolue => convergence simple
pour le reste, je n'ai pas une assez grande culture sur les espaces non complets pour te donner des exemples pertinents.

shadow

corentin0

Il vaut mieux que ce soit dans une algèbre de banach à produit continu (je ne sais plus si c'est dans les axiomes, donc autant le préciser)

Laplacien

En fait, j'avais oublié de préciser que les Pn sont des fonctions polynomiales de R dans R. Il y a effectivement convergence simple, mais je cherche un espace où il y aurait convergence en norme. Est ce qu'on peut normer l'espace des applications de R dans R ?

Bruno

Tu peux toujours munir l'espace des polynômes de la norme de la valuation :

||P - Q|| = exp(-v(P - Q)).

C'est fait pour.

Bruno

Bruno

Erreur de ma part, c'est une distance mais pas une norme.

Pitou

Il y a convergence uniforme sur tout compact.

Pitou

..et même normale sur tout compact.

Pour corentin : l'axiome de sous-multiplicativité de la norme fait effectivement partie des axiomes d'une algèbre de Banach. L'exemple typique est bien sûr L(E) où E est un Banach.

corentin0

Merci Pitou.
Au sujet de la convergence, effectivement elle est uniforme sur tout compact, donc ces sommes partielles convergent vers l'exponentielle pour la topologie classique des fonction holomorphes (au cas où tu ne la connais pas, c'est défini sur
<http://www.dptmaths.ens-cachan.fr/IMG/pdf/cours_ana_compl_desvillettes.pdf>, page 30).
Cette topologie est appelée avec beaucoup d'imagination topologie de la convergence compacte.

Laplacien

Si j'ai bien compris alors, on munit l'espace des aplications de R dans R de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact, et pour cette topologie, la suite Pn converge vers l'exponentielle. Est-ce bien ca ? Peut on métriser cet ensemble ?
merci

Pitou

Cette topologie est métrisable effectivement. Si $(K_n)$ est une suite exhaustive de compacts de $\Omega$ (i.e. si $\Omega = \bigcup_n K_n$) et si on note $d_n(f,g)=\sup_{K_n} |f-g|$, alors $d(f,g)=\sum_n 2^{-n} \min (1 , d_n(f,g))$ est une distance sur $H(\Omega)$ qui induit cette topologie.

A noter que $p_n : f \mapsto d_n(0,f)$ est une semi-norme sur $H(\Omega)$, et que $H(\Omega)$ muni de la famille $(p_n)$ est un espace de Fréchet (le même que si on le munit de la distance $d$ ci-dessus). En particulier il est complet.

Vianney

Cette topologie est métrisable effectivement. Si $(K_n)$ est une suite exhaustive de compacts de $\Omega$ (i.e. si $\Omega = \bigcup_n K_n$) et si on note $d_n(f,g)=\sup_{K_n} |f-g|$, alors $d(f,g)=\sum_n 2^{-n} \min (1 , d_n(f,g))$ est une distance sur $H(\Omega)$ qui induit cette topologie.

A noter que $p_n : f \mapsto d_n(0,f)$ est une semi-norme sur $H(\Omega)$, et que $H(\Omega)$ muni de la famille $(p_n)$ est un espace de Fréchet (le même que si on le munit de la distance $d$ ci-dessus). En particulier il est complet.