Ensemble et surjectivité...

clotho

Re à tous et à toutes,

J'ai une nouvelle question concernant les ensembles.

(Je bosse pas mal les math depuis un certain temps..ce qui est plutôt une bonne nouvelle...j'ai un certain niveau à acquérir d'ici septembre. suis inscrit au CNED à distance au sup/spé.). Donc pas envie de me faire de fausses idées...

Soient X et Y deux ensembles, montrer que f est surjective ssi pour tout B inclus dans Y on a f(f-1(B)) = B. Pour f-1, il faut comprendre l'application réciproque...exercice classique, mais j'ai besoin d'une précision. On raisonne bien entendu par double implication dont l'une est : f(f-1(B)) = B implique f surjective.

Je suppose donc que B est inclus dans Y en étant différent de Y et je choisis tout d'abord B = {y}. J'ai alors sous mes hypothèses :

f(f-1( {y})) = {y} implique f-1 ( {y}) = ens.vide. En écrivant cela, j'utilise le fait que P(B) = { ens.vide, {y}) ? Et ensuite, je conclus en écrivant que comme f ( ens.vide ) = ens.vide...c'est impossible et donc f surjective?

Merci pour ce nouveau coup de main...

Vassia Pupkin

Je ne pense pas que f-1 désigne l'application réciproque ; d'ailleurs, aucune hypothèse de bijectivité n'est faite dans le second membre de l'équivalence à démontrer ...

Essaie plutôt en utilisant que f-1(B) est l'ensemble des antécédents des éléments de B ;-)

Vassia Pupkin

A moins que l'"application réciproque" désigne l"application qui à un ensemble associe l'ensemble des antécédents des éléments de cet ensemble ...

clotho

Salut Vassia,

Effectivement, je ne fais aucune hypothèse de bijectivité sur f...et pour f-1, c'est "ma notation" ne sachant pas utiliser latex et elle désigne bien l'application réciproque, qui elle, existe tjs pour une application donnée...

clotho

oui pour l'ensemble des antécédents, c'est comme ça que je le comprends..

Vassia Pupkin

Aïe aïe je réflechis pas avant d'écrire ! Mais je ne comprend pas alors ton problème car en considérant {y}, comme f(f-1({y}))={y}, il vient que f-1({y}) est non vide, d'où l'existence d'un antécédent pour y.

milo0

L'application réciproque n'existe que si l'application est bijective ...

Je pense que la notation $f^{-1}(B)$ désigne effectivement l'ensemble des antécédents des éléments de $B$ par $f$.

De fait, si $f(f^{-1}({y}))$ est non-vide, $y$ possède bien un antécédent par $f$.

clotho

C'est justement à ce niveau précis que j'ai besoin d'une clarification...

Car dans mon esprit si B se réduit à un singleton, ici y. Alors l'ensemble des parties P(B) = (ens.vide, y ) donc A MOINS DE ME TROMPER on peut aussi avoir f-1(y) = ens.vide?

milo0

Mais tu as bien soulevé une contradiction : on aurait f(ensemble vide) non vide, non ?

Bruno

Pour clotho.

Si f est une application de E dans F quelconque, si Im(f) est l'image de l'application, une partie X de F est telles que f^-1(X) = vide si, et seulement si elles est incluse dans le complémentaire de Im(f) ou, ce qui est la même chose, si X intersection Im(f) = ensemble vide.

Bruno

clotho

Pour Milo, je suis pas trop d'accord avec la bijectivité automatique de l'application réciproque...Exemple si, je considère l'application de A = {-2 , 2, 3} dans B = { 4 }

Il suffit de prendre comme exemple y = x au carré. 4 a pour antécédent la paire { 2, -2 }...et alors f-1(2) = f-1(-2) = 4...on n'a pas l'injectivité et d'ailleurs pas de surjectivité...mais l'application réciproque elle existe...à moins de faire fausse route...

clotho

Merci Bruno pour cette clarification, c'est ce que je voulais savoir...
Cordialement,
Clotho.

Volny DE PASCALE0

Bonjour.

Que sait-on de f ?

A première vue :

$f^{-1}(B) = {x\in E / f(x)\in B}$, où $E$ est l'ensemble de départ de $f$.

Alors, comme $f(X) = {y\in E' / \exists x\in X, y=f(x) }$

Avec $E'$ ensemble d'arrivée de $f$.

On a trivialement $B \subseteq f(f^{-1}(B)$ et si l'inclusion est stricte,

$\exists y\in E'\setminus B / \exists x\in E / f(x)\in B$ et $y=f(x)$

C'est à dire que soit f n'est pas univoque (son graphe n'est pas un graphe d'application), soit on a toujours $f(f^{-1}(B))=B$

Où me suis-je trompé ?

Oh, latex est encore cassé!

Je laisse le code pour que vous puissiez lire, sans cocher la case latex

Amicalement
Volny

clotho

Bon n'arrive pas encore à lire Latex comme ça. Merci pour toutes vos réponses...

Bruno

Volny.

"On a trivialement $B \subseteq f(f^{-1}(B)$" C'est faux, tu te trompes de sens dans l'inclusion.

Si f : E vers F, et si B inclus dans F on a :

f(f^-1(B)) = B inter Im(F)

où Im(f) est l'image de f; donc f(f^-1(B)) est inclus dans B et par le contraire.


Bruno

Bruno

J'oubliais de préciser, avec les mêmes notations c'est <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="50" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/12/63105/cv/img1.png&quot; ALT="$ B \subset E$"></SPAN> qui vérifie : <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="111" HEIGHT="34" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/12/63105/cv/img2.png&quot; ALT="$ B \subset f^{-1}(f(B))$"></SPAN>.
<BR>
<BR>On a les équivalences :
<BR>
<BR><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="13" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/12/63105/cv/img3.png&quot; ALT="$ f$"></SPAN> injective ssi pour tout <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/12/63105/cv/img4.png&quot; ALT="$ B$"></SPAN> de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="40" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/12/63105/cv/img5.png&quot; ALT="$ \mathcal{P}(E)$"></SPAN>, <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="111" HEIGHT="34" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/12/63105/cv/img6.png&quot; ALT="$ f^{-1}(f(B)) = B$"></SPAN>
<BR>
<BR>et :
<BR>
<BR><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="13" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/12/63105/cv/img3.png&quot; ALT="$ f$"></SPAN> surjective ssi pour tout <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/12/63105/cv/img4.png&quot; ALT="$ B$"></SPAN> de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="40" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/12/63105/cv/img7.png&quot; ALT="$ \mathcal{P}(F)$"></SPAN>, <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="111" HEIGHT="34" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/12/63105/cv/img8.png&quot; ALT="$ f(f^{-1}(B)) = B$"></SPAN>.
<BR>
<BR>Bruno<BR>

clotho

Effectivement on a bien l'inclusion A inclus dans f-1(f(A)) , A inclus dans ensemble de départ, et l'égalité si f est injective ET f(f-1(B)) inclus dans B , B inclus dans ensemble d'arrivée, et l'égalité si f est surjective...

Cordialement
Merci
Clotho

Pitou

Il me semble que ceci est passé inaperçu : clotho dit "Exemple si, je considère l'application de A = {-2 , 2, 3} dans B = { 4 } ; Il suffit de prendre comme exemple y = x au carré. 4 a pour antécédent la paire { 2, -2 }...et alors f-1(2) = f-1(-2) = 4...on n'a pas l'injectivité et d'ailleurs pas de surjectivité...mais l'application réciproque elle existe...à moins de faire fausse route..."

Ton application ici n'en est pas une, puisque f(3) n'est pas dans B !

Quant à l'application f-1, moi je l'appelle plutôt "application image réciproque" car elle va de P(B) vers P(A) (pour ne pas la confondre avec l'application réciproque de B vers A quand f est bijective).

Bruno

Le terme exact serait plutôt :

Extension réciproque canonique aux parties de F.

Bruno

clotho

Pour Pitou,

Exact, exact, mon contre-exemple n'en n'était pas un...3 n'a pas d'image par mon application.

Si je pose alors f(3) = 9. Mon contre-exemple est-il alors valable?

Pitou

Euh.. un contre-exemple à quoi ? désolé si je suis lourd mais là je ne vois pas... :-)

clotho

Milo, en me répondant affirmait que "L'application réciproque n'existe que si l'application est bijective ... ".

Et je lui ai répondu que non en lui fournissant mon contre-exemple faux en l'occurence...

Mais bon, il y a des thémes abordés en cours sur le site bien plus intéressant que celui ci...et je crois qu'on a fait le tour de ma question...:)

Cordialement

Pitou

Au contraire je ne trouve pas ça inintéressant, enfin c'est surtout indispensable : il s'agit des fondations.. et puis les questions que tu poses ne sont pas idiotes.

Le désaccord entre toi et Milo tient à la définition exacte du terme "application réciproque" : s'il s'agit de la réciproque comme log par rapport à exp par exemple, il est bien évident que f doit être bijective. Encore que : quitte à bidouiller un peu une application f : E ---> F on peut toujours obtenir "l'OGM" f~ E/f ---> f(E) qui est bijective, où E/f est l'ensemble des fibres de f... C'est surtout intéressant avec un peu plus de structure sur E et F.

S'il s'agit de "l'extension réciproque canonique aux parties de F" évoquée par Bruno, alors elle est toujours définie, et même pour une classe d'objets plus large que les applications ou les fonctions de E vers F, en fait on peut en parler pour toute correspondance de E vers F, i.e. pour toute partie G du produit E x F.

Bruno

Désolé clotho.

Bruno

F... compilateur !

Du coup Pitou a été plus rapide.

[contenu du fichier pdf joint. AD]

clotho

Bon merci encore à tous les deux pour vos précisions ultimes...

Pour Pitou, j'avoue que je n'ai pas trop compris "f~ E/f ---> f(E) qui est bijective, où E/f est l'ensemble des fibres de f... C'est surtout intéressant avec un peu plus de structure sur E et F.". Ce n'est pas un reproche loin de là ...mais je n'en demande pas plus pour le moment. Pas encore le niveau pour apprécier ces détails.

J'en suis pour le moment à la construction des fondations. Et comme je commence à vous trouver très sympathique tous les deux. Je vous en dis un peu plus sur moi. Je souhaite me reconvertir dans l'enseignement des mathématiques, et je me prépare au capes session 2006. Mais c'est vrai que les mathématiques ne sont pas ma formation initiale, donc je rame un peu. Mais la motivation est intacte.


Sinon, je pensais pourtant être au point là-dessus...la preuve que non...besoin d'une petite révision à ce sujet.

A+
Clotho

Alain Debreil

pdf

Bruno

Bon courage clotho.

Tu peux compter sur grand nombre de vieux du forum.

Bruno

Alain Debreil

Bonjour.

Que sait-on de $f$ ?

A première vue :

$f^{-1}(B) = \{x\in E / f(x)\in B\}$, où $E$ est l'ensemble de départ de $f$.

Alors, comme $f(X) = \{y\in E' / \exists x\in X, y=f(x) \}$

Avec $E'$ ensemble d'arrivée de $f$.

On a trivialement $B \subseteq f(f^{-1}(B)$ et si l'inclusion est stricte,

$\exists y\in E'\setminus B / \exists x\in E / f(x)\in B$ et $y=f(x)$

C'est à dire que soit f n'est pas univoque (son graphe n'est pas un graphe d'application), soit on a toujours $f(f^{-1}(B))=B$

Où me suis-je trompé ?

Amicalement
Volny

Pitou

Ben y a pas que des vieux !

En tous cas clotho comme le dit Bruno tu peux compter sur le soutien de tout le monde ici...

Pour E/f on verra quand tu aborderas les groupes, en attendant travaille bien et bravo pour ta reconversion.

Bruno

Je ne parlais pas de l'âge mais de la sagesse, Pitou :-))

En attendant, Alain Debreil est en train de se taper le boulot, il semble que le compilateur fonctionne de nouveau.

Merci Alain.

Bruno

Pitou

Je suis rassuré.. s'il s'agit de sagesse, je ne me sens vraiment pas visé ! ;-)

Merci au pauvre Alain, décidément la bête de somme du forum...

Test du "f**ing compilateur" (je la retiens celle-là Bruno !!!) : $\C = \R \oplus i \R$

Volny DE PASCALE0

Bruno.
Tu as bien sûr raison.

On devrait toujours se relire avant de poster, mais avec latex en panne j'étais plus occupé à essayer de comprendre le problème qu'à relire mes c...ries.

Cela dit, je persiste, ce n'est pas parceque je me suis trompé que j'ai tort, il suffit que mon erreur soit fausse pour que j'ai raison.

Plus sérieusement, rien ne nous disait que f était munie d'un graphe fonctionnel, elle pouvait être multivoque. Mais clairement, ce n'était pas le cas.

Amicalement
Volny

Bruno

lol Volny.

De toutes façons, mon intervention était destinée à clotho malgré sa forme pas heureuse.

Bien amicalement.

Bruno

Vianney

L'application réciproque n'existe que si l'application est bijective ...

Je pense que la notation $f^{-1}(B)$ désigne effectivement l'ensemble des antécédents des éléments de $B$ par $f$.

De fait, si $f(f^{-1}({y}))$ est non-vide, $y$ possède bien un antécédent par $f$.

Vianney

Volny.

"On a trivialement $B \subseteq f(f^{-1}(B))$". C'est faux, tu te trompes de sens dans l'inclusion.

Si $f : E \to F$, et si $B \subset F$ on a :

$f(f^{-1}(B)) = B \cap Im(f)$

où $Im(f)$ est l'image de $f$; donc $f(f^{-1}(B)) \subset B$ et pas le contraire.


Bruno

Vianney

J'oubliais de préciser, avec les mêmes notations c'est $B \subset E$ qui vérifie : $B \subset f^{-1}(f(B))$.

On a les équivalences :

$f$ injective ssi pour tout $B$ de $\mathcal{P}(E)$, $f^{-1}(f(B)) = B$

et :

$f$ surjective ssi pour tout $B$ de $\mathcal{P}(F)$, $f(f^{-1}(B)) = B$.

Bruno