Exercice corps locaux

Bonjour
J'aimerais un peu d'aide sur cet exercice. Pour la 1) j'ai des idées mais je ne suis pas du tout sûr de mon raisonnement, pour la 2) je pense que c'est OK et pour la 3) j'ai quelques idées.

1) On sait (mon cours) que $O$ est un anneau de Dedekind local, donc un anneau de valuation discrète. Je note $l$ la valuation sur $F = Frac(O)$ associée, qui est non triviale. Je voudrais montrer que $l$ et $v$ coïncident sur $Q_p$ (à un multiple près), car alors l'unicité de l'extension d'une valuation non triviale de $Q_p$ à $F$ (mon cours) permet de conclure. Quitte à changer $v$ par $n^{-1}v$, on voit que $v$ coïncide sur $Q_p$ avec $v_p$. Il me faut donc montrer que $l$ coïncide aussi sur $Q_p$ avec $v_p$. Est-ce une conséquence du théorème d'Ostrowski ?

2) J'utilise le lemme de Hensel. Posons $P(Y) = Y^l -x - 1 \in O[X]$. On a $\mid P(1) \mid_v = \mid x \mid_v < 1 = 1^2 = {\mid l \mid_v}^2 = {\mid l1^{l-1} \mid_v}^2 = {\mid P'(1) \mid_v}^2$. D'après Hensel il existe bien $y \in O$ tel que $P(y) = 0$.

3) J'ai remarqué un truc. Si on connaît le résultat pour $x \in \mathfrak p$, alors on le connaît pour tout $x \in O$ puisque $v(xu) = v(x) + v(u) = v(x)$ où $u \in O^{\times}$ et $x \in \mathfrak p$.
Si $x \in \mathfrak p$, il existe $y \in O$ tel que $y^l = 1 + x$ d'après 2). On a alors $w(x) = w(y^l - 1) \ge \inf ( lw(y), 0 )$. Il me faudrait montrer que $w(y) \ge 0$ ...
Merci.91414

Réponses

  • On va le faire avec $F=\Q_p$ et $p$ premier impair. Soit $v_p$ sa valuation canonique.

    Soit $w$ une valuation non-archimédienne discrète non-triviale $F\to \Z$ et $O_w^\times = \{ y\in \Q_p, w(y) = 0\}$.

    Soit $1+x\in 1+p\Z_p$. Ils te demandent de montrer que $(1+x)^{1/\ell}\in \Z_p$ pour tout $p\nmid \ell$.

    En particulier $(1+x)^{1/\ell}\in \Q_p$.

    Donc $w((1+x)^{1/\ell}) = \frac{w(1+x)}{\ell}$ est un entier pour tout $p\nmid \ell$ donc $w(1+x)=0$.

    Soit $g\in \Z$ d'ordre $p-1$ modulo $p$. Comme $g^{p-1} \in 1+p\Z_p$ on a $w(g) = 0$ et comme $\Z_p^\times = \bigcup_{a=1}^{p-1} g^a (1+\Z_p)$ on a $\Z_p^\times \subset O_w^\times$.

    Et comme $\Q_p^* = \Z_p^\times \times p^\Z$ on a que $w$ est entièrement définie par $w(p)$ : $$w = w(p) \ v_p$$
    Comme $p$ est un multiple entier de $1$ et que $v(a+b)\ge \min(v(a),v(b))$ on a $w(p) \ge w(1)=0$ donc $w(p)\ge 0$, que $w$ est une valuation non-triviale dit que $w(p)\ne 0$.

    Pour les extensions finies de $\Q_p$ c'est pareil en remplaçant $g$ par une générateur du corps résiduel et $p$ par un uniformiseur (un générateur de l'idéal maximal).
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