continuité de la convolution

corentin0

Bonjour;
On sait à peu près bien que quand on convole des fonctions, la fille a un peu toutes les qualités des parents.
Ma question, c'est si on convole une fonction de $L^p$ avec une bonne vieille fonction Cinfinie à support inclus dans la boule unité (et tant qu'à faire positive d'intégrale 1), a t'on une majoration de la norme de la convolée en fonction de la norme de notre fonction de départ.
En termes mathématiques: $||f *\phi||_p \leq C ||f||_p$.
Je pense avoir répondu par l'affirmative, mais ma solution est moche.
(et question complémentaire pour les courageux, si $f\in W^{s,p}$ ?)
Merci...

Airy0

Voila se que j'en pense (au cas où tu n'y aurait pas pensé):

Avec g (C infinie à support compact).

|f(x-y) | |g(y)| = |f(x-y)||g(y)|^{1/p}|g(y)|^{1/q} (avec 1/p +1/q =1).

par Cauchy-Schwarz, on obtient :

|f *g(x)|^p =< (|f|^p)* g(x).

(|f|^p)*g est L^1.

On fubinise cela d'où :

|| f*g ||_p =< || f ||_p (modulo les erreurs).

En fait, g L^1, me semble bien symphatique.

On aurait || f*g ||_p =< || f ||_p || g ||_1


Airy.

corentin0

Huuum, je crois que je suis pas complètement d'accord avec toi.
Lorsque tu appliques Cauchy Schwarz (je suppose que tu voulais dire Holder), il apparait en facteur ("intégrale de g^(p/(p-1))")^(1/(p-1)).
Bon, tu me diras ça fait jamais qu'un pauvre coeff, mais hélas, g est appelée à devenir 1/h^n g(x/h) pour en faire une suite en delta, et ça me gêne pour une majoration uniforme.
Par contre, la suite me parait tout à fait correcte (je crois même qu'elle est dans mon poly d'analyse, c'est dire ).

corentin0

Oublie ce que j'ai dit c'est n'importe quoi.

Airy0

Qu'est ce qui est n'importe quoi ?

Le début ("huuum ..."[*]) ou que la suite soit assez correcte pour figurer dans ton poly d'analyse ?? (mes 2 secondes de gloire ! :-D ).

[*] j'aurais dit hummm.

Airy.

corentin0

Rassure toi, c'est le huum qui est n'importe quoi. Ce que tu as dit est tout à fait correct. (quand je dis "c'est n'importe quoi", en général, c'est que j'ai fait mon n+1ème faute de calcul)

Airy0

En fait, tu as presque raison:

J'ai commencé les calculs avec g positive d'intégrale 1.
Ayant obtenu le résultat, je suis juste remonté à l'intant où je "fubinise", j'avais donc bel et bien oublié || g ||_1 ^{1/q} .

Mais l'on retombe sur ces pieds et l'on obtient bien le résultat annoncé.

Au fait, quelle était ta solution "moche" ?

Airy.

Question à un modérateur:

Pourquoi aucune commande latex ne répond ??? Même les commandes les plus simples ($x^n$ ) ne fonctionnent pas...

corentin0

Ma solution était tellement moche que je n'ai même pas voulu la formaliser.
Essentiellement, il sagissait d'appliquer Jensen en utilisant beaucoup les hypothèses sur g, ce qui était très laborieux, désagréable, et en plus assez peu précis.

mat9

azu fait dites si je dis des conneries mais le cas f dans Ws,p me semble tout aussi simple que celui avec f dans Lp en effet on approxime f dans Ws,p par une fonction psi C infini support compact et tout ce que tu veux...
on ecrit f*phi=psi*phi+(f-psi)*phi le truc classique
inégalité triangulaire puis on écrit la norme dans Ws,p comme la somme des normes des D...normes p on utilise normep D^j(psi-f) plus petit que epsilon pour tout j plus petit ou égal à s et le tour est joué non ?

[corrigé selon tes indications. AD]

mat9

pardon il faut lire f*phi=psi*phi+(f-psi)*phi

corentin0

Mat... j'ai pas compris ta dernière phrase. Je sais pas si il manque une conjonction de coordination, un verbe, un complément ou si c'est à moi qu'il manque des neurones.
Enfin bon, ce que j'avais trouvé à partir de la méthode d'Airy marche très bien (aussi?). Sans Latex, ça va être un peu douloureux pour vos yeux...
Je vous épargne les valeurs absolues

int ( f*phi(x+h-f*phi(x) )^pdxdh < int_{x,h} int{y} ( f(x+h-y)-f(x-y) )^p phi(y) dxdhdy
<||f||_{ w^{s,p} } \int phi(y)dy=<||f||_{ w^{s,p} }

Fubini

bonjour

Voila un resultat qui peut te simplfier la vie avec la norme pieme des fonctions definies avec inegrale.(en particulier les convolutions)


si $F(x)=\int _Y f(x,y)d \nu (y)$ où $ f: X\times Y \longrightarrow
\R+\bigcup \{+\infty \}$ est mesurable, alors


$(\int _X F^p(x) d\mu (x) )^{1/p}\leq \int _Y (\int _X f^p(. ,y) d \mu (x))^{1/p}) d\nu (y)$

la seule hypothese est les deux mesures soient $\sigma$-finies , pour $p=1$ c'est exactement Fubini(egalité)

Fubini

Latex passe pas

mat9

Pour ma derniere phrase:tout nos termes sont à la ppuissance p
puis on réécrit norme p de Dalpha[(f-psi)*phi]=morme p(Dalphaf-Dalphapsi)*phi et la fin on retrouve ce qu'on veut c'est à dire que mon truc est completement debile parce qu'on pouvait se passer de l'approximation

Sans debilité cette fois ci:
somme(|a|<=s,||Da(f*phi||p)<=somme(|a|<=s,||Daf||p||phi||1)=[comme ||phi||1=1]=||f||W(s,p)

mat9

heu est-ce que je n'ai pas encore repondu en dehors de la question ? Que cherche-t-on à démontrer pour la question subsidiaire ?

1)||f*phi||p<=c||f||w(s,p) ou

2)||f*phi||w(s,p)<=c||f||w(s,p)

pour le 2) j'ai repondu

et pour le1)
||f*phi||p<somme(|a|<=s,||Da(f*phi)||p)<=||f||w(s,p)

Airy0

Une question connexe:

Quelle est la majorations optimale ?

C'est à dire le plus petit réel k tel que || f*g ||p =<k ||f ||p || g||1 pour toutes fonctions f dans L^P et g dans L^1 ?

Existe t-il ensuite, une application (un problème) où l'on gagne à avoir une majoration très fine ?

Bon week-end

Airy.

mat9

ben ça parait évident k=1 puisque pour des fonctions f,g positives et L1 on a l'égalité

mat9

a moins que tu demandes pour p fixé quel est le k(p) optimal?

mat9

tient apres avoir un peu reflechit à ton probleme il me semble qu'on peut conjoncturer sans probleme que k=1 ...

IL s'ufit pour cela de prendre une fonction g qui appartient à tout les Lp et dont tu sais caluler g*g assez facilement genre fonction exponentielle.

Ariry

Mat >

Pour f et g positives et L^1 on a l'égalité ?

Je dirais plutot si f et g sont colinéaires (g = µ favec µ complexe), on a l'égalité.

C'est donc bien 1 et je n'ai pas suffisement réfléchi avant de poser cette question.

Airy.

mat9

airy pour voire l'egalité regarde ce que ça donne quand tu fais le changement de base trivial x-y=X y=Y

mat9

je voulais dire bien sur changement de variable

corentin0

Comme c'est un sujet qui a l'air de vous intéresser, je vous conseille d'aller voir sur
<http://perso.univ-rennes1.fr/nicolas.lerner/6.Chapitre6.pdf>, à la page 133
il y a l'inégalité de Young qui est traitée (et qui répond de façon plus générale à ta question, Airy.).

mat9

pour corentin tout le monde connait l'inegalité de Young, enfin je crois, mais le truc c'était de dire si justement le truc était optimal...

corentin0

"tout le monde connait l'inegalité de young "
Bouhouhouhhou. Faut pas me dire des choses comme ça, après je complexe moi. J'ai appris que ça existait hier matin!
Bon, pour l'optimalité, je vais regarder...

corentin0

Voila, pour la majoration optimale, après quelques tentatives stupides de convoler des constantes, j'ai remarqué qu'en fait il suffit de convoler avec des approximations de l'unité, et c'est clair qu'on aura bien l'optimalité (yaka convoler avec une fonction régulière à support compact, par uniformité de la convergence, on a bien f*phi_delta ->_{L^p} f, et comme phi_delta est d'intégrale 1 on a bien répondu à la question.)

mat9

désolé...
au fait ça m'etonnerait qu'on puisse trouvé un k(p) moins grand que 1 car si c'est le cas ça veut dire que toute suite de convolées de foncions
f*f*...*f tend vers 0 en norme ce qui à mon avis est loin d'etre le cas.

mat9

avec f bien sur dans l'intersection de tous les Lp pour etre tranquile

mat9

Ah tient corentin c'est marrant nos postes ce sont croisés...merci pour ta réponse ,au fait comment se fait-il que je reçois trois mails pour chaque réponse sur ce poste ?

Vianney

Bonjour

Voila un resultat qui peut te simplfier la vie avec la norme p-ieme des fonctions definies avec integrale (en particulier les convolutions) :


Si $\displaystyle F(x)=\int _Y f(x,y)d \nu (y)$ où $ f: X\times Y \longrightarrow \R_+\cup \{+\infty \}$ est mesurable, alors $$\left(\int _X F^p(x) d\mu (x) \right)^{1/p}\leq \int _Y \left(\int _X f^p(. ,y) d \mu (x)\right)^{1/p} d\nu (y)$$ la seule hypothese est les deux mesures soient $\sigma$-finies , pour $p=1$ c'est exactement Fubini (egalité)