Questions sur l'infini

Bonjour à tous,

Je me pose une question concernant les cardinaux.
Il parait clair qu il y a un nombre dénombrable de cardinaux fini disctinct.
Concernant les ensembles infinis, ma question pourrait se poser ainsi: Combien y a t il d infinis différents?

On sait que lorsque $A$ est un ensemble infini la suite $#A$, $#P(A)$,$#P(P(A))$... ($P(A)$ désigne l ensemble des parties de A) est une suite strictement croissant de cardinaux ( j entends par là qu il n y a pas de surjection de $A$ vers $P(A)$). grace à ce procédé on crée un nombre infini d infinis disctincts. Mais le cardinal de ces infinis reste dénombrable par ce procédé. Quel est donc le cardinal des infinis disctincts?

Je suis conscient que ma question m a peut etre pas de sens, car l ensemble de tout les cardinaux n est peut etre pas un ensemble, on ne pourais donc pas parler de son cardinal. Cependant cette question se comprend intuitivement je pense.

D autres questions que je me pose aussi : il y a t il un cardinal si grand qu il ne puisse etre le cardinal d un ensemble de parties?

Merci aux spécialistes et à tous ceux qui ont une idée de m éclairer dans cet univers fascinant de l infini

Réponses

  • Salut,

    tout d'abord, les cardinaux ne forment pas un ensemble mais ne classe propre.

    Il y en a un sacre gros paquet... En fait, il n'y a pas de borne sur la classe des cardinaux. Pour un ordinal $\alpha$ donne, on peut considerer le $\alpha$-ieme cardinal infini, qui est plus grand ou egal a l'ordinal considere.

    De plus, par rapport a la derniere question, tous les cardinaux sont par definition des ensembles.

    @l
  • Peut on alors se représenter un ensemble dont le cardinal serait plus grand que tous ceux obtenus par la suite $Card(\R)$ ,$Card(P(\R))$,$Card(P(P(\R)))$...ou est ce seulement théorique
  • Oui, il suffit, par exemple de prendre:

    $P(\bigcup_{i\in \omega} P_i(\R))$

    ou $P_i$ represente $P(P(....))$ $i$ fois.

    @l
  • oui effectivement merci
  • Il est egalement possible de rajouter un axiome qui stipule l'existence d'un ordinal de cardinal plus grand que tout ordinal réalisé grace a la construction ci-dessus (si vous me suivez). On appelle ca les ordinaux inaccesibles.
    Toujours est-il qu'il n'est pas possible de se faire une representation intuitive de ces ensembles (d'ailleurs les representations intuitives de R sont contestables....)
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