dérivée au sens des distributions

Sasha1

Quelle est la dérivée de $\mathds{1}_{[-1,1]}$ au sens des distributions? J'hésite entre $\delta_{-1}+\delta_{1}$ et $\delta_{-1}-\delta_{1}$.

Je pencherai plutot pour la deuxième solution...

merci et bonne journée!

GERARD5

On trouve facilement le deuxième résultat en écrivant la fonction comme différence de fonctions échelon unité décalées.

Sasha1

<!--latex-->a oui vu comme ca c'est clair<BR>

Airy0

Posons f = $\{1}_{[-1,1]}$

N'a t-on pas le résultat avec la formule des sauts ?:

(f($-1^+$) -f($-1^-$)) ($\delta_-1$) +(f($1^+$) -f($1^-$)) ($\delta_1$) soit $\delta_-1$ - $\delta_1$

corentin0

D'accord avec Airy, ce type de résultat est complètement évident à deviner si on voit ce que c'est l'idée d'une dérivée au sens des distributions.
Dans ce cas, l'indicatrice monte en -1, d'où $+ \delta _1$, tandis qu'ensuite on redescend, donc $-\delta _1$. (et comme ça on n'a pas à se souvenir de la dérivée de Heavyside, même si c'est pas trop dur)

Pitou

Salut

Tant qu'on y est, je vous pose une grave question existentielle qui me taraude : je ne sais pas calculer la dérivée au sens des distributions de par l'exemple l'indicatrice du disque unité dans le plan. Notamment la dérivée selon $x$ au point de coordonnées (0,1).

corentin0

Puisqu'il faut bien se tromper pour progresser, disons $\displaystyle \frac{d(1_{x\in C})}{dx}=-\delta _{|x|=1} cos(\theta)$...
J'attends les commentaires goguenards...

corentin0

Et vu que j'ai pris des bonnes résolutions (ie; faire les calculs sur du papier, et ne pas pipeauter des conjectures), voila ce que j'ai écrit;
$\displaystyle \int _{\R ^2} \frac{\partial f}{\partial x} \phi :=\int _{D(0,1)} \frac{\partial \phi}{\partial x}dxdy= \int_{y=-1}^1 \int_{x=-cos(arcsiny)}^{cos(arcsiny)} \frac {\partial \phi}{\partial x}dxdy=\int_{y=-1}^1 \phi(cos(arcsiny),y)-\phi (-cos(arcsiny),y)dy$

Vianney

Posons $f = 1_{[-1,1]}$

N'a t-on pas le résultat avec la formule des sauts ? $$\bigl[f(-1^+) -f(-1^-)\bigr] (\delta_{-1}) + \bigl[f(1^+) -f(1^-)\bigr] (\delta_1)$$ soit $\delta_{-1} - \delta_1$

Vianney

<!--latex-->Et vu que j'ai pris des bonnes résolutions (ie; faire les calculs sur du papier, et ne pas pipeauter des conjectures), voila ce que j'ai écrit :
<BR><BR><DIV ALIGN="CENTER"><!-- MATH \begin{eqnarray*}\newline \int _{\mathbb{R}^2} \frac{\partial f}{\partial x} \phi :=\int _{D(0,1)} \frac{\partial \phi}{\partial x}\,dxdy &=& \int_{y=-1}^1 \int_{x=-\cos(\arcsin y)}^{\cos(\arcsin y)} \frac {\partial \phi}{\partial x}\,dxdy\\&=& \int_{y=-1}^1 \phi(\cos(\arcsin y),y)-\phi (-\cos(\arcsin y),y)\,dy
\newline\end{eqnarray*} --><TABLE CELLPADDING="0" ALIGN="CENTER" WIDTH="100%"><TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="RIGHT"><IMG WIDTH="200" HEIGHT="51" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/5/62838/cv/img1.png&quot; ALT="$\displaystyle \newline \int _{\mathbb{R}^2} \frac{\partial f}{\partial x} \phi :=\int _{D(0,1)} \frac{\partial \phi}{\partial x}\,dxdy$"></TD><TD WIDTH="10" ALIGN="CENTER" NOWRAP><IMG WIDTH="16" HEIGHT="28" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/5/62838/cv/img2.png&quot; ALT="$\displaystyle =$"></TD><TD ALIGN="LEFT" NOWRAP><IMG WIDTH="219" HEIGHT="60" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/5/62838/cv/img3.png&quot; ALT="$\displaystyle \int_{y=-1}^1 \int_{x=-\cos(\arcsin y)}^{\cos(\arcsin y)} \frac {\partial \phi}{\partial x}\,dxdy$"></TD><TD WIDTH=10 ALIGN="RIGHT"> </TD></TR><TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="RIGHT"> </TD><TD WIDTH="10" ALIGN="CENTER" NOWRAP><IMG WIDTH="16" HEIGHT="28" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/5/62838/cv/img2.png&quot; ALT="$\displaystyle =$"></TD><TD ALIGN="LEFT" NOWRAP><IMG WIDTH="349" HEIGHT="57" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/5/62838/cv/img4.png&quot; ALT="$\displaystyle \int_{y=-1}^1 \phi(\cos(\arcsin y),y)-\phi (-\cos(\arcsin y),y)\,dy
\newline$"></TD><TD WIDTH=10 ALIGN="RIGHT"> </TD></TR></TABLE></DIV><BR CLEAR="ALL"><P></P><BR>