Logique et anneaux

Champ-Pot-Lion

Salut,

J'ai commencé par poster ma question sur math.stackexchange : https://math.stackexchange.com/questions/3381836/logic-and-adjunctions-with-ideals-in-ring-theory Mais pas de réponse et même un vote pour fermer. [edit : J'ai parlé trop vite, j'ai une réponse de Qiaochu Yuan \o/ ]

Bon donc je voudrais savoir si vous pouviez m'aider. En gros il s'agit de penser au produit de deux idéaux comme leur "produit cartésien" et au hom de $I$ vers $J$ comme $\{x\,|\,xI \subseteq J\}$, noté $J:I$. Initialement j'ai été motivé par le lemme de Gauss avec les polynômes et ensuite je vois des choses sur cette construction $J:I$ qui vérifie l'adjonction $JS \subseteq I \iff J \subseteq I:S$. Juste pour donner un exemple, on peut "internaliser" cette adjonction et cela donne $(I:S_1):S_2 = I:(S_1 S_2)$. C'est direct à la main mais on peut aussi recopier la preuve générale :
$U \subseteq I:(ST) \iff UST \subseteq I \iff US \subseteq I:T \iff U \subseteq (I:T):S$.

Dans un cours où cette construction est introduite, il y a une énumération de propriétés similaires qui s'interprètent de manière logique (et bien sûr comme d'habitude rien n'est dit à ce propos).

Donc "what is going on" ? Par exemple, quelle est la logique correspondante, comment est-ce qu'on interprète les idéaux premiers dans ce contexte, que vient faire cette espèce de "propriété universelle relativement aux premiers" qui dit qu'un produit d'idéaux est compris dans un premier si et seulement si l'un des termes l'est ? Bref, qu'est-ce qu'il y a d'intéressant à dire dessus ? Des références sont bienvenues.

Pour christophe c je sais que ce langage un peu catégorique ne va pas te plaire mais j'imagine que tu vois ce que je veux dire ?

Pablo_de_retour

Salut,

Sauf erreur de ma part,
La collection d'idéaux $ I $ d'un anneau $ A $ n'est donc pas simplement un poset, ( comme souligné dans la page MSE que tu mentionnes ), mais en particulier une algèbre de Heyting, dont l'opération d'exponentiation est donnée par l'adjonction que tu mets en exergue.

En général, une algèbre de Heyting $ \mathcal{H} $ est un poset tel que pour tout $ x,y \in \mathcal{H} $, on lui définit deux opérations $ x \wedge y, x \vee y $, et une $ 3 $ - ième opération d'exponentiation $ x \Rightarrow y $ définie par l'adjonction : $ \forall x,y,z \in \mathcal{H} $ : $ z < x \Rightarrow y \ \ \Longleftrightarrow \ \ x \wedge z < y $
C'est cette adjonction qui représente par analogie, l'adjonction que tu définis par $ ( J : I ) $ : Conducteur de $ I $ dans $ J $.

Maxtimax

Non il ne s'agit pas d'une algèbre de Heyting, puisque le produit d'idéaux n'est pas leur produit au sens catégorique : comme le souligne Qiaochu, la structure monoïdale n'est pas cartésienne.

Pour l'aspect plus logique que catégorique, Christophe a déjà parlé de ça (sans le lemme de Gauss), il me semble qu'il appelle ça la logique annelée. Il a écrit un article sur HAL à ce sujet, où il caractérise notamment (ce n'est pas le gros de l'article dans mon souvenir) les anneaux qui sont modèles de la logique intuitionniste/classique. Je ne le retrouve plus, mon lien ne fonctionne plus... Peut-être l'intéressé saura-t-il te rediriger.

Pour l'aspect plus catégorique, on t'a répondu sur MSE : la formule que tu mets en avant est littéralement une formule d'adjonction.
J'aimerais bien interpréter $IJ\subset p \iff I \subset p \lor J \subset p$ de cette manière aussi, mais je ne vois pas comment faire.

Champ-Pot-Lion

Super alors peut-être que cc va me répondre !

"Logique annelée" : super mot-clef. Premier résultat : l'article dont tu parles "Structure de valeurs de vérité".

christophe c

J'ai vu le fil de mon téléphone, mais je n'ai pas pu répondre, car apparemment le forum a dû bannir quelqu'un d'autre en bloquant son FAI. De sorte que comme moi aussi j'utilise la 4G sfr, mon téléphone ne peut plus poster.

Et oui, c'est très simple. En notant, pour un anneau $A$ et en considérant que ses phrases sont ses idéaux:

vrai := l'anneau entier

faux:= l'idéal nul

$I\to J:= \{x\mid \forall y\in I: xy\in J\}$

$I\otimes J:=IJ$

$I\wedge J:= I\cap J$

$non(J):=Annulateur(J)$, etc

Tu obtiens une logique pour cette anneau, celle constituées des expressions qui valent l'anneau entier quand on interprète, comme on veut, les lettres par des idéaux.

J'appelle logique annelée l'intersection des logiques produite par chaque anneau.

Il y a 2 "et", comme tu vois, l'intersection et le produit tensoriel. La logique annelée est une surlogique de la logique affine.

Par ailleurs tu as:

1/ Pour tout anneau A, logique(A) contient la logique intuitionniste si et seulement si tout élément de A est multiple de son carré

2/ Pour tout anneau A, logique(A) contient la logique classique si et seulement si $A$ est isomorphe à un produit fini de corps.

Un autre intérêt de procéder comme suit est qu'en plus tu as la complétude (ie les conjonctions infinies quelconques), donc tu peux bien évidemment faire de la logique annelée du premier ordre.

Concernant ton questionnement "adjonctionnel" :-D , tu as que:

$$I\to (J\to K) = (I\otimes J)\to K $$

pour tous $I,J,K$, mais comme je l'ai souvent dit, le paradigme catégorique est relativement trompeur et mauvais guide (ici par exemple, tu es obligé de créer de toute pièce des définitions "monoidales, etc" pour implémenter un traitement catégorique). La raison étant essentiellement qu'avec des flèches différentes des objets, il y a une artificialité mal perçue par "le catégorique" (et le fait de "monter" aux n catégories n'y change rien, puisque justement il y a besoin de "monter")

Une des spécificités "ADN" des logiques est qu'elles confondent (c'est un vrai égal) $A$ et $1\to A$, et l'être humain a encore beaucoup de chemin à faire pour "accepter" (voire comprendre) que l'ajout de simples relations de correspondance ou d'équivalences ne vont pas forcément le plonger au coeur d'une "égalité en dur", comme ici.

Pablo_de_retour

Maxtimax a écrit:

Non il ne s'agit pas d'une algèbre de Heyting, puisque le produit d'idéaux n'est pas leur produit au sens catégorique : comme le souligne Qiaochu, la structure monoïdale n'est pas cartésienne.

Pourquoi la structure monoïdale $ I \otimes J := IJ $ n'est pas cartésienne ?

Maxtimax

Pablo : pourquoi le serait-elle ? A-t-on $I\subset I^2$ pour tout idéal $I$ ?

Christophe : "créer de toute pièce des définitions" :-D tu connais des arbres où je peux les cueillir ?

Pablo_de_retour

Maxtimax a écrit:

A-t-on $I\subset I^2$ pour tout idéal $I$ ?

Je n'ai pas compris. Pourquoi faut-il qu'il le soit ? :-)
Pour qu'une catégorie soit cartésienne, il faut qu'elle ait un objet final, c'est à dire un élément maximal pour le cas d'un poset. Pour la classe des idéaux c'est l'anneau tout entier $ A $. Non ?

Maxtimax

Dans un ensemble ordonné, le produit cartésien, s'il existe, c'est la borne inférieure. Donc si $IJ$ était le produit cartésien de $I$ et $J$, $I^2$ serait la borne inférieure de $I$ et $I$, donc $I$. Donc on aurait $I^2 = I$ : ce n'est manifestement pas le cas en général.

Champ-Pot-Lion

Merci Christophe. Est-ce que tu as une interprétation de ce que sont les idéaux premiers relativement à cette logique ? Quelle logique correspond à un anneau intègre ? D'après ce que tu as dit, la logique d'un tel anneau est intuitionniste si et seulement si c'est un corps...

christophe c

Un anneau intègre est un peu comme une théorie complète. Toute phrase vérifie que elle ou sa négation a sa négation démontrable.

Tu peux transposer à un idéal premier. Mais je ne t'apprends rien. (Rappel Annul(a)=:non(a))