Théorème de Cantor

Salut, je n'arrive pas a prouver le théorème suivant:
Pour tout ensemble $E$, on a : $Card(E) < Card(P(E))$.

Merci d'avance.

Réponses

  • Je pense que c'est l'histoire de l'argument diagonal, le même que pour prouver que $2^{\Bbb{N}}$ n'est pas énumérable, sauf qu'il faut indexer les suites par des entiers transfinis.

    Edit suite à la réponse de Boole et Bill : dans ZFC il y a sûrement une preuve syntaxique qui n'utilise pas ce genre de concept
  • Bonjour,
    C’est un exercice très classique, mais il faut connaître une astuce pour montrer le résultat. Suppose qu’il existe une surjection $\Phi:E\rightarrow P(E)$, et considère l’ensemble $\{x\in E\mid x\notin \Phi(x)\}$
  • Objection ! Ne suppose pas que $\Phi$ est une surjection. Montre simplement que pour toute application $\Phi:E\to\mathcal{P}(E)$, l'ensemble $\{x\in E,\ x\notin\Phi(x)\}$ n'a pas d'antécédent.

    [Pourquoi j'objecte : pour montrer une assertion $A$, on n'a pas besoin d'insérer la démonstration de $A$ dans un cadre logique comme : supposons que $A$ soit fausse, prouvons $A$ (sans utiliser l'hypothèse $\mathrm{non}(A)$), cela constitue une contradiction, d'où $A$ est vraie. Autant garder seulement la partie « prouvons $A$ », non ?]
  • @Math Coss, je te l’accorde ;-)
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