Existence de polynômes

jaccuzzi

Bonjour à tous
J'aimerais trouver 4 polynômes non-nuls $p_1,p_2,p_3,p_4$ (s'ils existent) définis sur les variables $s,t,u,v,e,r$ vérifiant $$
p_1(s,t,su,re-u,sv,r-v)=p_2(e)p_3(s,t)p_4(s+t,st,su,re-u,sv,r-v).
$$ Peut-on affirmer que de tels polynômes existent et si oui, comment les trouver avec SageMath (par exemple) ?
Merci à vous.

Math Coss

Non nuls et pas tous constants, c'est facile : \begin{align*}
p_1(a,b,c,d,e)&=ab+a+b+c^{17}+d^{89}\\
p_2(e)&=1,\\
p_3(s,t)&=1,\\
p_4(p,q,c,d,e)=q+p+c^{17}+d^{89}.\end{align*}Tous non constants, c'est une autre histoire.

jaccuzzi

Ah oui merci pour ta reponse!
Oui tu as mis le doigt sur un oubli de ma part....$p_2$ non constant. D'ailleurs un cas interessant (pour moi) serait $p_2(e)=e$.
Dans ce cas, tu penses qu'il n'y en a pas?

jaccuzzi

Je ne sais pas par où commencer même avec la version simplifiée ci-dessous...quelqu'un aurait-il une methode ?

version simplifiée.
J'aimerais trouver 3 polynômes non-nuls $p_1,p_3,p_4$ (s'ils existent) définis sur les variables $s,u,v,e,r$ vérifiant $$
p_1(s,su,re-u,sv,r-v)=ep_3(s)p_4(s^2,su,re-u,sv,r-v).
$$ Peut-on affirmer que de tels polynômes existent et si oui, comment les trouver avec SageMath (par exemple) ?
Merci à vous.