Application transposée et stabilité
Bonjour,
Je considère un $k$ espace vectoriel $E$ et $F$ un sous-espace de $E$, je note $F^\perp$ l'espace vectoriel des formes linéaires qui s'annulent sur $F$, $f$ est un endomorphisme de $E$, je cherche à montrer que :
le sens direct est facile, et en faisant les identifications adéquates, en dimension finie le sens récirproque fonctionne également, quid de la dimension infinie ?
Je considère un $k$ espace vectoriel $E$ et $F$ un sous-espace de $E$, je note $F^\perp$ l'espace vectoriel des formes linéaires qui s'annulent sur $F$, $f$ est un endomorphisme de $E$, je cherche à montrer que :
$F$ stable par $f$ si et seulement si $F^\perp$ est stable par l'application transposée de $f$
le sens direct est facile, et en faisant les identifications adéquates, en dimension finie le sens récirproque fonctionne également, quid de la dimension infinie ?
Réponses
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C'est un peu laid, mais l'absurde a l'air de fonctionner: Soit $x\in F$ tel que $y=f(x)\in E\backslash F$, tu peux prendre une application $g\in F^\perp$ telle que $g(y)=y$. L'existence de telles applications est évidente en dimension finie (genre théorème de la base incomplète). Je crois que c'est vrai en général.
Edit : le lendemain, après avoir lu les réaction de Poirot et Maxtimax:
Oups... Je peux m'en sortir en plaidant la fatigue??? :-D -
$g(y)=1$ serait plus raisonnable ;-)
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Dans ce cas, oui ça existe, ça s'appelle Hahn-Banach :-D
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@Poirot pour Hahn-Banach c'est raté malheureusement puisque je travail sur $k$ quelconque, ça permet quand même de conclure quand $k = \mathbf{R}$.
Prendre une forme linéaire $g$ tel que $g(f(x)) = 1$ avec $x \in F$ tel que $f(x) \in E-F$ fonctionne parfaitement, reste à prouver qu'une telle forme linéaire existe en dimension infinie, ça doit pouvoir se faire avec des idées du type base incomplète, base duale, mais pour ça va falloir que je revois précisément la théorie de la dimension -
Base incomplète est toujours vraie, c'est juste du Zornage : si $y\notin F$, par Zorn on prend une famille libre maximale dont le vect n'intersecte pas $F$, alors à la fin on a une base d'un supplémentaire de $F$ qui contient $y$, donc on peut avoir $g(y) =1$ pour une forme linéaire $g$ s'annulant sur $F$.
C'est faux si on n'a pas l'axiome du choix .
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