Initiation aux équations fonctionnelles

Bonsoir à tous, je veux m'initier aux équations fonctionnelles, car je les rencontre dans de nombreuses fiches d'exercices.
J'aimerais avoir un document qui en parle mais niveau débutant.

Merci pour votre aide.

Réponses

  • En cherchant "équations fonctionnelles pdf" sur Google, le premier lien est ce cours donné pour la préparation aux olympiades : Cours - équations fonctionnelles. (Je crois l'avoir travaillé lorsque j'étais au lycée et que je l'ai trouvé plutôt bon.)
  • Le document cité, de Pierre Bornsztein et Moubinool Omarjee, est excellent pour son propos, qui concerne les équations fonctionnelles posées aux Olympiades mathématiques. Ces épreuves étant réservées à des élèves du Secondaire, les équations fonctionnelles considérées ne font pas usage des théorèmes de l'Analyse et se réduisent à des manipulations algébriques, pas évidentes pour autant.
    Attien pourrait nous donner des exemples d'équations fonctionnelles qu'il a rencontrées. S'il s'agit d'énoncés posés aux concours d'entrée aux Grandes Écoles, il faut quelques outils venant de l'Analyse.
    On a déjà parlé de ce sujet maintes fois sur ce forum. Je vais rechercher les références quand j'aurai le temps, et d'autres peuvent le faire.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • J'ai retrouvé ce fil de discussion qui donne pas mal d'informations sur les équations fonctionnelles :

    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1589184

    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Bon, pas de réponse...
  • Désolé @Chaurien, c’est une équation que j’ai trouvée dans mes exos sur la continuité, c’est une fiche de TD de niveau MPSI.
  • @Chaurien tu nous avais promis un article sur les équations fonctionnelles B-)-
  • Il y a peu de théorie systématique sur ce genre de sujet qui est beaucoup basé sur le sens de l'astuce et l'aisance calculatoire de l'élève (ou du candidat car il s'agit plutôt d'un exercice de concours ou d'olympiade et l'originalité et la capacité à faire face à des situations inédites est ce qu'un jury cherche à tester ici).
    Fais beaucoup d'exos.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Ok @Foys , j’ai déjà eu une petite banque d’équations fonctionnelles.
  • Foys a écrit:
    la capacité à faire face à des situations inédites

    Ah. Alors ça veut dire que si on répond à Attien, le concours ne marche plus ? :-D
  • @ Attien
    Pour ce qui est d'un article j'ai déjà donné dans Quadrature n° 35, janvier-mars 1999, voir le fil de discussion que j'ai cité précédemment : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1589184,1595394#msg-1595394
    et plus précisément mon message dans ce fil : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1589184,1591516#msg-1591516
    qui offre cet article. J'incline à penser qu'il fournit une bonne introduction sur la question, niveau MPSI. Tu pourrais me dire ce que tu en penses.

    Voir aussi : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1589184,1594870#msg-1594870 sur une méthode utile en MPSI-MP.
    Maintenant je pourrais faire plus mais mon âge et mon état de santé me rendent la chose difficile, et il faudrait qu'on m'apprenne à maîtriser Dropbox.
    Peux-tu citer les équations fonctionnelles que tu as rencontrées et qui ont suscité tes interrogations ?
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
    [size=x-small]Liberté, Égalité, Paternité[/size]
  • @ Foys

    On ne peut pas dire qu'il n'y a pas de théorie systématique des équations fonctionnelles.Disons plutôt qu'il n'y a pas d'exposé systématique de cette théorie dans les classes prépas, mais si demain il y avait au programme un chapitre « Équations fonctionnelles » alors cette question serait aussi « classique » que les autres et ferait l'objet d'exposé comme les autres..

    En fac je ne sais pas comment cette question est abordée. Dans mon message
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1589184,1589596#msg-1589596
    j'avais mis un lien vers l'Institut Fourier de Grenoble, mais ce lien est inactif au jour d'aujourd'hui ;-).

    Dans mon message
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1589184,1589734#msg-1589734
    j'ai donné un lien vers une monographie du mathématicien polonais Marek Kuczma (1935 – 1991) qui donne un bon aperçu de la théorie des équations fonctionnelles en 1964.

    Depuis il y a eu pas mal de publications, hélas en anglais, dont la somme de 800 pages de Kannappan (2009) :
    https://www.springer.com/gp/book/9780387894911#aboutBook
    et aussi, plus élémentaire (2011) :
    http://www.msri.org/people/staff/levy/files/MCL/Efthimiou/100914book.pdf
    (ce dernier qu'on trouve bizarrement en ligne).
    Et d'autres aussi...

    Tout ça fait bien un corpus systématique de connaissances concernant cette question.

    Bonne journée.
    Fr. Ch.

    Rappel de quelques fils sur cette question :
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,813002,813165#msg-813165
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,935065,935955#msg-935955
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,1073845,1074173#msg-1074173
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1212487,1214753#msg-1214753
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1589184,1595394#msg-1595394
  • Bonjour,
    Dans le même thème. Qu'en est-il des inéquations fonctionnelles?
    Merci.
  • aléa a écrit:
    Ah. Alors ça veut dire que si on répond à Attien, le concours ne marche plus ? grinning smiley
    Les compositeurs d'épreuves (en particulier d'OIM) sont assez retors pour en proposer des nouvelles à chaque fois (:P)
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Bonjour @Chaurien, voici un exercice que je trouve dans mes livres.90748
  • @Attien: si $f$ est une telle fonction, que peut-on dire de $f \circ \exp$ ?
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Puisque la fonction $f$ est supposée dérivable, dérive les deux membres de l'équation fonctionnelle par rapport à $y$ en considérant $x$ constant. Tu peux en déduire ensuite $f'(x)$, et enfin $f(x)$ par intégration.

    C'est ainsi qu'André Delachet introduisait la fonction logarithme dans son excellent « Que Sais-Je ? », qu'on peut lire encore aujourd'hui.

    Tu peux aussi trouver les fonctions $f$ continues vérifiant la même équation fonctionnelle. Pour ce faire, tu intègres entre $1$ et $2$ les deux membres de l'équation fonctionnelle, tu poses $F(x)=\int_{1}^{x}f(t)dt$, tu exprimes $f$ en fonction de $F$ et tu prouves ainsi que $f$ est $ \mathcal C^1$, et les solutions sont donc les mêmes. C'est la méthode que j'appelle de « renforcement », dont j'ai parlé ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1589184,1594870#msg-1594870

    Et encore mieux, la continuité en un point implique la continuité partout.

    Bonne soirée.

    Fr. Ch.
  • Il y a quand même des énormes pans des équations fonctionnelles qui ont été étudiés en long en large et en travers, ce sont les EDO, les EDP, les équations intégro-différentielles, etc.
  • Je ne classerais pas les EDO/EDP dans les équations fonctionnelles (la manière de les aborder et les mathématiques requises étant si différentes) mais pourquoi pas.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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