Les coefficients caractérisent

Bonjoir,

concernant les fonctions polynômes rencontrées au lycée, il semble que pas grand monde (programmes, collègues, manuels) ne dise un mot sur le fait que ces fonctions sont caractérisées par leurs coefficients.

Réponses

  • C'est vrai.

    D'ailleurs, dans une discussion dont le thème est assez éloigné de ça, on s'aperçoit que pour le cas des fonctions affines, le fait que les deux coefficients soient uniques n'est qu'une toute petite remarque, dans un coin...
  • Pour le démontrer il suffit de montrer que le seul polynôme qui vaut $0$ partout est bien le polynôme nul. Soit $P$ un polynôme valant $0$ partout, en dérivant assez de fois on s'aperçoit que son coefficient directeur doit être nul, on obtient $P=0$. On peut aussi démontrer cette propriété avec les limites en $+\infty$. Donc abordable niveau première si je ne m'abuse.

    Si quelqu'un à une démonstration n'utilisant que le programme de seconde (et à la limite une récurrence) ça m'intéresse.
  • Je ne suis pas choqué. La distinction polynôme/fonction polynôme n'est pas si simple à énoncer, d'ailleurs la phrase
    "ces fonctions sont caractérisées par leurs coefficients" est assez ambigue.
  • Si je comprends bien le sens des mots, la phrase « une fonction-polynôme est caractérisée par ses coefficients » signifie que lorsque l'on donne les coefficients, la fonction est déterminée. C'est vrai mais trivial.
    Ce qui est vrai mais moins trivial c'est la réciproque : « les coefficients d'une fonction-polynôme sont caractérisés par cette fonction » ce qui signifie que lorsque l'on donne une fonction-polynôme, les coefficients sont déterminés, autrement dit il n'y a pas d'autre suite de coefficients qui donnent la même fonction.
    Il est bien connu que c'est faux sur un corps commutatif fini.
    Il suffit de le prouver pour la fonction nulle, polynôme nul, et l'énoncé à prouver est le suivant.$\bullet $ Soit un corps commutatif infini $K$, soit $n\in \mathbb{N}^{\ast}$, soit l'application $\displaystyle P:x\mapsto \overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}a_{k}x^{n-k}$, de $K$ dans $K$, avec $a_{k}\in K$. On suppose que pour tout $x\in K$, on a : $P(x)=0$. Alors, $a_{0}=a_{1}=...=a_{n}=0$.On peut donner un énoncé un peu plus général :$\bullet $ Soit un corps commutatif $K$, soit $n\in \mathbb{N}^{\ast }$, soit l'application $\displaystyle P:x\mapsto \overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}a_{k}x^{n-k} $, de $K$ dans $K$, avec $a_{k}\in K$. On suppose qu'il existe $\xi _{1}$, $\xi _{2}$, ..., $\xi _{n}$, $\xi _{n+1}$, éléments distincts de $K$, tels que $P(\xi _{j})=0$ pour $j=1,2,...,n,n+1$. Alors, $a_{0}=a_{1}=...=a_{n}=0$, et pour tout $x\in K$ : $P(x)=0$.D'habitude, on prouve ce théorème en exposant d'abord la théorie des polynômes formels, mais si l'on ne veut pas passer par là, on peut donner tout de même une démonstration, en faisant bien attention.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
    23/09/2019
  • Bonjour Corto.

    Cette propriété n'a jamais été démontrée au niveau seconde, mais l'était autrefois en première S et F (ancêtres des actuels STIDD), avec l'étude sérieuse des polynômes (sans distinction entre polynôme formel et fonction polynôme en F).
    Plus anciennement, la distinction entre polynôme formel et fonction polynôme n'était pas faite en secondaire, même en math-élem. C'était à l'élève de bien saisir de quoi on parlait.
    On démontrait cette propriété comme une conséquence de l'algorithme de division des polynômes, puis de la factorisation par X-a d'un polynôme dont a est racine, et enfin de l'existence de la notion de degré et de son lien avec le nombre des racines.

    Mais en fait, en F, on se passait très bien de cette propriété, on se contentait de faire de l'identification une implication, pas une équivalence, en laissant de côté les éventuelles conséquences de l'unicité. Par exemple on n'en a pas besoin pour intégrer une fraction rationnelle.

    Cordialement.
  • Voici par exemple une démonstration, un peu laborieuse, mais élémentaire et ne nécessitant pas l'utilisation de polynômes formels. J'en ai une autre qui utilise le schéma de Horner (pas Hörner).
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Soient $a_0,a_1,..,a_n$ des réels non tous nuls et $p$ le plus petit entier tel que $a_p \neq 0$. Soit $f$ la fonction réelle définie par $f(t):=\sum_{k=0}^n a_k t^k$ pour tout $t\in \R$. Alors lorsque $x$ tend vers $0$ ($x>0$), $\displaystyle{\frac{f(x)}{x^p} = a_p + x\left ( \sum_{i=0}^{n-p-1} a_{p+1+i}x^i \right )}$ tend vers $a_p$ qui est non nul. Par suite $f$ n'est pas identiquement nulle.

    Si on souhaite éviter le recours aux limites on peut choisir $x$ à la main dans l'expression précédente - par exemple: $x$ strictement compris entre $0$ et $\displaystyle {\max \left (1, \frac{1}{n} \frac{\left |a_p \right |}{\sum_{k=0}^n \left |a_k \right | } \right)}$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • On peut montrer facilement par récurrence sur $n$ la propriété : s'il existe $a_0,\ldots,a_n$ tels que pour tout $x$ réel, $P(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^n a_i x^i$, et si $P$ est identiquement nul, alors $a_0 = ... = a_n = 0$.
    Pour se ramener au rang $n-1$ quand on est au rang $n$, considérer $P(2x)-2^nP(x)$.
  • Chaurien, pour ton th.2 je propose ça :90306
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