Ouvert comme réunion d'intervalles ouverts
Bonjour.
J'ai vu que tout ouvert de $\mathbb{R}$ est une réunion dénombrable d'intervalles ouverts. Et pour ce qui est de la démonstration, j'ai vu qu'on écrit cet ouvert (notons le $U$) comme réunion des intervalles $]a,b[$ contenus dans $U$ où $a$ et $b$ sont rationnels.
Je vois bien pourquoi la réunion de ces intervalles ouverts est égale à $U$ mais je ne comprends pas pourquoi c'est une réunion dénombrable. J'essaye de montrer qu'elle est en bijection avec $\mathbb{Q}^{2}$ mais je n'y arrive pas.
J'espère que vous pourrez me suggérer de nouvelles pistes ou me guider dans ce que j'essaye de faire.
Merci d'avance.
J'ai vu que tout ouvert de $\mathbb{R}$ est une réunion dénombrable d'intervalles ouverts. Et pour ce qui est de la démonstration, j'ai vu qu'on écrit cet ouvert (notons le $U$) comme réunion des intervalles $]a,b[$ contenus dans $U$ où $a$ et $b$ sont rationnels.
Je vois bien pourquoi la réunion de ces intervalles ouverts est égale à $U$ mais je ne comprends pas pourquoi c'est une réunion dénombrable. J'essaye de montrer qu'elle est en bijection avec $\mathbb{Q}^{2}$ mais je n'y arrive pas.
J'espère que vous pourrez me suggérer de nouvelles pistes ou me guider dans ce que j'essaye de faire.
Merci d'avance.
Réponses
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Il suffit d'associer à l'intervalle $]a,b[$ le couple $(a,b) \in \mathbb Q^2$. L'application en question est injective à valeurs dans un ensemble dénombrable, l'ensemble de départ est donc dénombrable.
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Merci pour votre aide.
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Autre approche.
À tout $x \in U$ on associe le plus grand intervalle ouvert $J_x$ contenant $x$ et contenu dans $U$. Ces intervalles sont deux à deux disjoints et forment une partition de $U$, soit $(I_{\lambda})_{\lambda \in W}$ (ce sont les composantes connexes de l'ouvert $U$, mais peu importe).
Chacun des intervalles $I_{\lambda}$ contient un rationnel, ce qui permet de définir une application injective de $W$ dans $\mathbb Q$, et il s'ensuit que $W$ est dénombrable.
Bonne soirée.
Fr. Ch. -
Ces intervalles peuvent être non bornés mais on ne peut pas les ordonner en général.
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Comme le dit Poirot, l'ensemble des intervalles dont les extrémités sont dans $\Q\cup \{-\infty; +\infty\}$ est dénombrable.
Mais the question is: t'en rends-tu compte? Peux-tu le prouver?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Bonjour!
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