Petite question d'algèbre

Bonjour je me suis posé cette question :
trouver les matrices $A$ telles que $(A,A^2)$ est libre.

Mon début de réponse :
• si $A$ est une homothétie, alors $A^2=k.A$ ;

• si $A$ est inversible mais non homothétie, $x.A^2+y.A=0 \Rightarrow x.A+y.I=0 \Rightarrow (x,y)=(0,0)$ ;

• si $A$ non inversible, mais de dimension $2\times 2$, alors Cayley-Hamilton affirme
que $(A,A^2)$ est liée ;

• sinon on ne peut rien affirmer ?

Réponses

  • Tu cherches simplement les matrices dont un polynôme annulateur est de la forme $aX^2+bX=X(aX+b)$ avec $(a,b) \neq (0,0)$. Si $a=0$, $b \neq 0$ et on a affaire à la matrice nulle. Si $a \neq 0$ et $b=0$, on a affaire aux matrices nilpotentes d'ordre inférieur ou égal à $2$. Sinon, il s'agit des matrices diagonalisables avec valeurs propres $0$ et $-b/a$.
  • si simple ok merci Poirot.
  • Joli exercice de colle / question d'oral d'agrégation.
  • Il est plus facile d'étudier le complémentaire de cet ensemble (i.e. les matrices $A$ telles que $(A^2,A)$ est liée).
    Si $(A^2,A)$ est liée et $A$ non nulle alors:
    -Ou bien $A^2=0$
    -Ou bien $A^2=\lambda A$ avec $\lambda $ non nulle et donc $A(A-\lambda I) = 0$ i.e. $A$ est annulée par le polynôme scindé à racines simples $X(X-\lambda )$. Donc $A$ est diagonalisable avec un spectre contenu dans $\{0,\lambda \}$
    (on peut même se passer du critère de diagonalisabilité et écrire directement la décomposition de l'espace ambiant en $ker(A) \oplus ker(A-\lambda I)$).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • @Foys : est-ce que ça ne revient pas à ce que j'ai écrit dans mon message ?
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