polynomes de legendre

pat4

bonjour a tous,
un collegue me demande la valeur de l'integrale suivante

$$\int_0^\pi P_n(\cos(\theta))\sin(2\theta)e^{im\theta}d\theta$$

où $P_n$ désigne le n-ième polynôme de legendre (ca devrait semble-t'il correspondre à des coef de fourier de $\theta\mapsto P_n(\cos(\theta))$....). Si un initié peut m'éviter de me lancer dans les calculs, qu'il recoive d'avance toute ma gratitude.

amicalement, pl.

Philippe29

Bonjour,
Il y a une petite erreur dans le message précédent de mon collègue , l'expression que nous souhaitons en fait calculer est:

$\displaystyle \int_0^\pi P_n(\cos(\theta))\sin(\theta)e^{im\theta}d\theta$


merci pour votre aide,
cordialement.


Philippe

Philippe29

Bonjour,
Il y a une petite erreur dans le message précédent de mon collègue , l'expression que nous souhaitons en fait calculer est:

$\displaystyle \int_0^\pi P_n(\cos(\theta))\sin(\theta)e^{im\theta}d\theta$


merci pour votre aide,
cordialement.


Philippe

bisam0

Je pense qu'il faut utiliser le changement de variable $x=cos(\theta)$ puis le fait que les polynômes de Legendre forment un BON de $\R[X]$ pour le produit scalaire $(f,g) \mapsto \int_0^1 f(x)g(x)dx$.
On doit alors pouvoir exprimer $e^{i m\theta}$ en fonction de ces polynômes.
Je pense que le résultat vaut 0 si $n\neq m$ (à vue de nez) et est non nul si $n=m$.

pat4

c'est $\sin(2\theta)$ et non $\sin(\theta)$..............

Kuja

Bonjour,

je ne sais pas vous mais ça me fait furieusement penser aux harmoniques sphériques. Je n'y connais pas grand-chose mais il faut peut être creuser de ce côté ...

Amicalement,